基本介紹
例1,例2,例3,法一：等積轉化法,法二：轉化為線面——其它點面距離,法三：用概念直接作,法二：轉化為面面距離來作,法三：利用等積計算布列方程,
例1
已知異面直線l1,l2，l1⊥l2，MN為l1,l2的公垂線段M∈l1，N∈l2，A∈l1異於M，B∈l2異於N，P為MN上異於M，N的任一點。（1）判斷ΔABP的形狀（銳角還是鈍角或Rt△）；（2）設AB中點為C，MN中點為D，AB=a, MN=b。求線段CD的長。
解析（1）：判斷ΔABP形狀？不知角→只能通過邊→餘弦、勾股定理→比較三邊平方關係，
依題設，AP2=AM2+MP2，BP2=BN2+NP2→AB2=？
過N作NQ//l1,則A，Q，M，N共面，過A作AQ//MN交NQ於Q，
∵ MN為公垂線，∴ MN⊥平面QBN，∴ AQ⊥平面QBN，
∴ ΔAQB為RtΔ，∴ AB2=AQ2+BQ2=MN2+BQ2
∵ l1⊥l2，∴ QN⊥BN，∴ QB2=QN2+BN2=AM2+BN2,
∴ AB2=AM2+BN2+MN2,
∵ MN=MP+NP，∴ MN2>MP2+NP2，
∴ AB2>AM2+MP2+BN2+NP2=AP2+BP2，
由余弦定理可知，cos∠APB<0，∴ ΔABP為鈍角三角形。
解析(2)：已知AB，MN，CD三條線段不共面，要想求出CD，必須先將三者的數量關係轉化集中到同一平面內。
同（1）過N作NQ//l1, A,M,N,Q共面，
過A作AQ//MN交NQ於Q，證得ΔAQB為RtΔ，
AQ=MN，則BQ=，作BQ中點E，連結CE，EN，
又∵ C為AB中點，∴ CEAQ，
∵ D為MN中點，∴ CEDN，
∴ 四邊形CEND為平行四邊形， ∴ CD=EN，
又∵ RtΔBNQ，∴ EN=BQ==CD。
評註：10在空間距離的計算上，將已知、所求各量集中於同一平面是最基本的想法。
20 在數量的傳遞和比較上，平移，藉助平行四邊形性質是最常用的方法，解三角形知識是通用的工具，在距離計算上要能熟知解三角形知識。
例2
已知：正方形ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，求直線BC1到截面ACD1的距離。
分析：因正方形，故BC1//AD1，∴ BC1//平面ACD1，由線面距離的概念，BC1到面ACD1的距離即BC1上任一點到平面ACD1垂線段的長，亦等於過BC1且與平面ACD1平行的平面與平面ACD1的距離。
解:
法一：過BC1上一點作垂線段
連結B1D，B1C，設B1C交BC1於E，取DC中點F，連結EF，BF，設BF交AC於H，過H作HG//EF交BE於G，
∵ 正方形ABCD-A1B1C1D1棱長為1，
∴ B1D⊥平面ACD1，B1D=，E為CB1中點，
∴ EFBD，∴ EF⊥平面ACD1，
∴ GH⊥平面ACD1，∴ GH的長即BC1到平面ACD1距離，
∵ DC//AB，F為DC中點，
∴ FH∶BH=1∶2，∴ BH∶BF=2∶3，
∴ HG=EF=，即BC1到平面ACD1的距離為。
評註：若按定義，通過BC1上任一點向平面ACD1作垂線，垂足落在何處？能否利用上已知條件，故通常為便於計算都不能如此作，而是從另一些方面利用圖形性質或構造垂面截出垂線段。此處利用正方體體對角線垂直於不相交的面對角線這一特性及同一面的垂線互相平行的性質作出垂線段GH，也相當於過BC1作了與平面ACD1垂直的平面BC1F，也可在垂面上利用面面垂直的性質去找垂線段。
引申設問：此題若改求異面直線AC和BC1的距離呢？你能否根據以上解法予以解答？
例3
已知正方形ABCD邊長為4，PC⊥平面ABCD，PC=2，E，F分別為AB，AD中點。求：點B到平面PEF的距離。
解:
法一：等積轉化法
設B點到平面PEF的距離為h，連結BF，則¡SΔPEF¡h=V三稜錐B-PEF，
連結CE，CF，在RtΔCBE中，BC=4，BE=2，
∴ CE2=20，又在RtΔPCE中，PC=2，
∴ PE=2，同理可求得PF=2，又可求得EF=2，
∴ 可求得SΔPEF=2，
又：V三稜錐B-PEF=V三稜錐P-BEF，已知PC⊥平面BEF，
∴ ¡2¡h=¡SΔBEF¡PC，
∴ h=。
法二：轉化為線面——其它點面距離
連結BD， ∵ E、F分別為AB，AD中點，
∴ EF//BD，
∴ B點到平面PEF的距離即直線BD到平面PEF的距離，即直線BD上任一點到平面PEF距離，
連結AC交EF於G，交BD於O，連結PG，
∵ BD⊥AC，∴ EF⊥AC，又 PC⊥EF，
∴ EF⊥平面PGC，∴ 平面PEF⊥平面PCG，
過O點作OK⊥PG於K，則OK⊥平面PEF，
即線段OK的長即為點O到平面PEF的距離，
由ΔOKG∽ΔPCG，在ΔPCG中可求得PG=，PC=2，
在ΔOGK中，OG=AC=，∴ OK=¡OG=。
法三：用概念直接作
延長FE交CB延長線於H，連結PH，過B作BM//PC交PH於M，過B作BN⊥EH於N，連結MN，過B作BQ⊥MN於Q點，
∵ PC⊥平面ABCD，∴BM⊥平面ABCD，
∴ MB⊥EH，∴EH⊥平面BNM，
∴ 平面BMN⊥平面PEH，
∴ BQ⊥平面PEH，即線段BQ的長即為點B到平面PEF的距離，
∵ E為AB中點，即正方形ABCD，∴ BH=BE=2， EH=2，
∴ BN=，由，∴ BM=，
在RtΔBMN中，BQ=。
評註：此題仍用了例2所用的三種思維方法。這都是求距離所用的常用方法。比較概括一下，等積法最容易，轉化法是最常用的思路，直接法往往較難，尋求垂線段時往往需藉助圖形隱含的性質和作輔助的垂面來實現，每種方法都能從不同側面幫助我們提高空間思維能力，在複習時都應運用領會。
法二：轉化為面面距離來作
連結A1B，A1C1， ∵ 正方體A-C1，
∴ 平面ACD1//平面A1C1B，
∴ BC1到平面ACD1的距離即平面ACD1到平面A1C1B的距離。
連結B1D，設B1D交平面A1C1B於O1，交平面ACD1於O2，
∵ 正方體AC1，∴ B1D⊥平面A1C1B， B1D⊥平面ACD1，
∴ 線段O1O2的長即為平面ACD1與平面A1C1B的距離，作A1C1中點M，連結BM，
∵ B1MD1DB共面，∴ B，O1，M共線（公理2）
在RtΔBB1M中，B1O1=，
同法可求得DO2=，
∴ O1O2=B1D-DO2-B1O1=。
評註：10計算過程中必要的證明必不可少，如此處B，O1，M共線的證明。
20 當確認要計算的線段後，轉化和尋求三角形應同時進行，如此處O1O2較難直接計算，轉化為O1O2=B1D-B1O1-DO2，B1O1置於RtΔBB1M中。
法三：利用等積計算布列方程
設點B到平面ACD1的距離為h，則¡h,
∵ 正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，
∴ DD1⊥平面ABC，ΔAD1C為正三角形，邊長為。
又∵ =¡SΔABC¡DD1=，
∴ ¡h=¡1，∴ h=。
評註：解決點面距離的通法——等積法，用此法要注意靈活選擇三稜錐，變換視角，以及規範表述。
