兩點間距離公式

兩點間距離公式

兩點間距離公式常用於函式圖形內求兩點之間距離、求點的坐標的基本公式,是距離公式之一。兩點間距離公式敘述了點和點之間距離的關係。

基本介紹

  • 中文名:兩點間距離公式
  • 外文名:Distance between two points
  • 學科:數學
  • 性質:敘述了點和點之間距離的關係
  • 套用:用於函式圖形內求兩點之間距離
  • 分類:平面和空間兩點間距離公式
定義,平面坐標形式,公式,推論,實例,三維坐標形式,公式,推導過程,極坐標形式,

定義

兩點間距離公式常用於函式圖形內求兩點之間距離、求點的坐標的基本公式,是距離公式之一。兩點間距離公式敘述了點和點之間距離的關係。

平面坐標形式

下面不加證明地給出幾個公式。

公式

設兩個點A、B以及坐標分別為
,則A和B兩點之間的距離為:

推論

直線上兩點間的距離公式:
設直線
的方程為
,點
為該線上任意兩點,則
這一公式即所謂圓錐曲線的弦長公式。若記
為直線AB的傾斜角,則
同時,若已知直線公式和其中一個點,並且給定了距離,可以反求另一個點的坐標。

實例

現在有一隻工程隊要鋪設一條網路,連線A,B兩城。他們首先要知道兩城之間的距離,才能準備材料。他們用全球定位系統將兩城的位置在平面直角坐標系中表示出來。現在我們就來試試看能不能幫他們求出A、B兩城之間的距離。
在黑板上畫出A,B兩點,如下圖:
兩點間距離公式
那么,我們怎么求出AB之間的距離呢?
我們來試試看,能不能通過添加一些輔助線,來解答問題呢?
首先我們作點A關於X軸的垂線,設垂足為A’,再作B關於Y軸的垂線,設垂足為B’;延長AA’和BB’使之交與C點。
如下圖:
兩點間距離公式
顯然角C等於90度,這樣我們就構造出了一個三角形ABC,而我們要求的AB就在這
個直角三角形上。因此我們是不是可以考慮看看用勾股定理來求出AB呢?
由勾股定理可以得知:
由A(-20,20)和B(20,-10),所以可知C(-20,-10)。現在我們可以將AB平移到Y軸上,設這兩個對應的點為N1,N2,所以:
兩點間距離公式
因此可知:
AB2=|20-(-20)|2+|(-10)-20|2=2500
所以
現在,我們已經求出了A、B兩城的距離。現在,我們來思考一個問題:是不是任意兩點,只要知道這兩點的坐標,就可以求出這兩點之間的距離呢?我們能不能找到一個公式來求兩點之間的距離呢?
不妨設A(x1,x2),B(x2,y2)。因此可以推出
兩點間距離公式

三維坐標形式

公式

,則

推導過程

在三維坐標中,首先計算兩點在平面坐標中(即
軸上)的距離,再計算兩點在
軸上的垂直距離
。再次用勾股定理,即證。

極坐標形式

公式
下面不加證明地給出該公式。設極坐標系中兩點
,則

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