積分第一中值定理

積分第一中值定理是積分中值定理的推廣之一，此外還有積分第二中值定理。積分中值定理揭示了一種將積分化為函式值， 或者是將複雜函式的積分化為簡單函式的積分的方法。是數學分析的基本定理和重要手段， 在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面套用廣泛。

基本介紹

• 中文名：積分第一中值定理
• 外文名：First mean value theorem for definite integrals
• 別稱：First Integration Mid-value Theorem
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：微積分

定理定義

如果函式 在閉區間 上連續， 在 上不變號，並且 在閉區間 上是可積的，則在 上至少存在一個點 ，使下式成立：

定理證明

由於 在 上不變號，不妨設 。並且由 在 上的連續性可知， 在 上存在最大值 和最小值 ，使得 ，將不等式兩邊同時乘以 ，得到：

,對上式在上 取積分得

若 ，上式等號成立， ，定理顯然成立。

若 ，不等式兩邊同除以 ，有

由介值定理，存在 ，使得 ，即。定理得證。

套用實例

求極限。

解：取為，，，則，，並有

由於有界，因此

即原式的極限為0。