積 （範疇論）

範疇論中，積（或直積）的概念提取了集合的笛卡兒積、群的積、環的積、拓撲空間的積等概念的共性。本質上講，一組對象的積是到這些對象都有態射的對象中最具代表性的。

基本介紹

• 中文名：積 （範疇論）

定義

給定範疇C。C中一對象集{X_i|i∈I}的積為滿足下面泛性質的偶(X, (π_i))，其中X為一對象，π_i:X→X_i（i∈I）為一組態射：對任意對象Y及其到X_i的一組態射f_i，存在唯一的態射f:Y→X滿足，對任意i∈I，f_i=π_if。即，對任意i，下圖可交換。

若該組對象僅有兩個，積通常用X₁×X₂來表示。上圖變為：

此時，此唯一態射f也常表示為<f₁,f₂>。

討論

積為範疇論中的一種極限。積也即C中離散子範疇的極限。積不一定存在。但若存在，則由其定義易知其在同構的意義下唯一。

空積（I為空時所得的積）即終對象。

若C中對任意基於I的對象集均存在積，則該積也可以看做一個從C到C的函子。

集合{X_i}的積通常記為∏_iX_i。態射π_i也稱為自然投影。如下自然同構成立：

（Hom_C(U,V)表示C中從U到V的態射集；左側的積為範疇意義上的積、右側的為集合的笛卡兒積）。

若I為有限集，例如I= {1,...,n}，則X₁,...,X_n的積通常記為X₁×...×X_n。

設C存在有限積，採用上述積函子的定義，並用1表示C的終對象（空積），則下列自然同構成立：

上述為構成一個交換么半群的條件。