向量組的秩

向量組的秩為線性代數的基本概念，它表示的是一個向量組的極大線性無關組所含向量的個數。由向量組的秩可以引出矩陣的秩的定義。

基本介紹

• 中文名：向量組的秩
• 外文名：rank of a vector set
• 領域：線性代數

定義

極大無關組

要定義向量組的秩，首先要定義極大線性無關向量組。

向量組T中如果有一部分組α1，α2，···，αr滿足：

1. α1，α2，···，αr線性無關；
   
2. 任取向量組T中β，有α1，α2，···，αr，β線性相關。
   

則稱α1，α2，···，αr為向量組T的一個極大線性無關向量組，簡稱為極大無關組。

向量組的秩

一個向量組的極大線性無關組所包含的向量的個數，稱為向量組的秩；若向量組的向量都是0向量，則規定其秩為0.向量組α1，α2，···，αs的秩記為R{α1，α2，···，αs}或rank{α1，α2，···，αs}。

套用

定理

根據向量組的秩可以推出一些線性代數中比較有用的定理

1. 向量組α1，α2，···，αs線性無關等價於R{α1，α2，···，αs}=s。
   
2. 若向量組α1，α2，···，αs可被向量組β1，β2，···，βt線性表出，則R{α1，α2，···，αs}小於等於R{β1，β2，···，βt}。
   
3. 等價的向量組具有相等的秩。
   
4. 若向量組α1，α2，···，αs線性無關，且可被向量組β1，β2，···，βt線性表出，則s小於等於t。
   
5. 向量組α1，α2，···，αs可被向量組β1，β2，···，βt線性表出，且s>t，則α1，α2，···，αs線性相關。
   
6. 任意n+1個n維向量線性相關。
   

矩陣的秩

有向量組的秩的概念可以引出矩陣的秩的概念。一個m行n列的矩陣可以看做是m個行向量構成的行向量組，也可看做n個列向量構成的列向量組。行向量組的秩成為行秩，列向量組的秩成為列秩，容易證明行秩等於列秩，所以就可成為矩陣的秩。矩陣的秩線上性代數中有著很大的套用，可以用於判斷逆矩陣和線性方程組解的計算等方面。