皮克定理

皮克定理是指一個計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積公式，該公式可以表示為2S=2a+b-2，其中a表示多邊形內部的點數，b表示多邊形邊界上的點數，S表示多邊形的面積。

基本介紹

• 中文名：皮克定理
• 外文名：Pick's theorem
• 別稱：畢克定理
• 提出者：喬治·亞歷山大·皮克
• 提出時間：1899年
• 套用學科：數學  
• 適用領域範圍：幾何

發現者

姓名：喬治·尼古拉斯·亞歷山大·皮克（1859～1943)

全名：George Alexander Pick

國籍：奧地利

定理定義

a=39,b=14,s=45

一張方格紙上，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點，就是所謂格點。如果取一個格點做原點O，如圖1，取通過這個格點的橫向和縱向兩直線分別做橫坐標軸OX和縱坐標軸OY，並取原來方格邊長做單位長，建立一個坐標系。這時前面所說的格點，顯然就是縱橫兩坐標都是整數的那些點。如圖1中的O、P、Q、M、N都是格點。由於這個緣故，我們又叫格點為整點。

一個多邊形的頂點如果全是格點，這多邊形就叫做格點多邊形。有趣的是，這種格點多邊形的面積計算起來很方便，只要數一下圖形邊線上的點的數目及圖內的點的數目，就可用公式算出。

這個公式是皮克(Pick)在1899年給出的，被稱為“皮克定理”，這是一個實用而有趣的定理。

給定頂點坐標均是整點（或正方形格點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積S和內部格點數目n、多邊形邊界上的格點數目s的關係：

驗證推導

因為所有簡單多邊形都可切割為一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形P，及跟P有一條共同邊的三角形T。若P符合皮克公式，則只要證明P加上T的PT亦符合皮克公式（I），以及三角形符合皮克公式（II），就可根據數學歸納法，對於所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。

多邊形

設P和T的共同邊上有c個格點。

P的面積： iP + bP/2 - 1

T的面積： iT + bT/2 - 1

PT的面積：

(iT + iP + c - 2) + (bT- c + 2 + bP - c) /2 - 1 = iPT + bPT/2 - 1

三角形

證明分三部分：證明以下的圖形符合皮克定理：

所有平行於軸線的矩形；

以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形；

所有三角形（因為它們都可內接於矩形內，將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形）。

矩形

設矩形R長邊短邊各有m,n個格點：

AR = (m-1)(n-1)

iR = (m-2)(n-2)

bR = 2(m+n)-4

iR + bR/2 - 1 = (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1 = mn - (m + n) +1 = (m-1)(n-1)

直角三角形

易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等，且i,b相等。設其斜邊上有c個格點。

b = m+n+c-3

i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2

i + b/2 - 1 = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1 = (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2 = (m-1)(n-1)/2

一般三角形

逆運用前面對2個多邊形的證明： 既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面證明到若P，T符合皮克公式，則 P加上T的PT亦符合皮克公式。 那么由於矩形可以分解成1個任意三角形和至多三個直角三角形。 於是顯然有，只有當這個任意三角形也符合皮克定理的時候，才會使得在直角三角形符合的同時，矩形也符合。

套用例子

證明Farey序列的一個神奇的性質：前一項的分母乘以後一項的分子，一定比前一項的分子與後一項分母之積大1。