匹克定律

給定頂點坐標均是整環數字點（或正方形格點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積A和內部格點數目i、邊上格點數目b的關係：A = i + b/4 2 1。

基本介紹

• 中文名：匹克定律
• 外文名：PEAK's law
• 性質：定律
• 屬性：匹克
• 所屬類別：數學

定律內容

格點就是圖中的實心點。a為圖形內部的格點的個數，b為在邊界上的格點的個數，m=1，n=1/2.

證明

因為所有簡單多邊形都可切割為一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形P，及跟P有一條共同邊的三角形T。若P符合皮克公式，則只要證明P加上T的PT亦符合皮克公式（I），與及三角形符合皮克公式（II），就可根據數學歸納法，對於所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。

多邊形

設P和T的共同邊上有c個格點。

P的面積： iP + bP/2 - 1 T的面積： iT + bT/2 - 1 PT的面積： (iT + iP + c - 2) + (bT- c + 2 + bP - c + 2 ) /2 - 1 = iPT + bPT/2 - 1

三角形

證明分三部分：證明以下的圖形符合皮克定理：

所有平行於軸線的矩形； 以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形； 所有三角形（因為它們都可內接於矩形內，將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形）。 [編輯] 矩形設矩形R長邊短邊各有m,n個格點：

AR = (m-1)(n-1) iR = (m-2)(n-2) bR = 2(m+n)-4 iR + bR/2 - 1 = (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1 = mn - (m + n) +1 = (m-1)(n-1) 直角三角形易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等，且i,b相等。設其斜邊上有c個格點。

b = m+n+c-3 i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 i + b/2 - 1 = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1 = (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2 = (m-1)(n-1)/2

推廣

取格點的組成圖形的面積為一單位。在平行四邊形格點，皮克定理依然成立。套用於任意三角形格點，皮克定理則是A = 2i + b - 2。 對於非簡單的多邊形P，皮克定理A = i + b/2 - χ(P)，其中χ(P)表示P的歐拉特徵數。 高維推廣：Ehrhart多項式；一維：植樹問題。 皮克定理和歐拉公式（V-E+F=2）等價

解釋

一張方格紙上，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點，就是所謂格點。
如果取一個格點做原點O，如圖1，取通過這個格點的橫向和縱向兩直線分別做橫坐標軸OX和縱坐標軸OY，並取原來方格邊長做單位長，建立一個坐標系。這時前面所說的格點，顯然就是縱橫兩坐標都是整數的那些點。如圖1中的O、P、Q、M、N都是格點。由於這個緣故，我們又叫格點為整點。
一個多邊形的頂點如果全是格點，這多邊形就叫做格點多邊形。有趣的是，這種格點多邊形的面積計算起來很方便，只要數一下圖形邊線上的點的數目及圖內的點的數目，就可用公式算出。