“的士數”一詞來源於數學家哈代和拉馬努金的一件軼事，第n個的士數定義為能以n種不同的方法表示成兩個正立方數之和的最小正整數。
6個的士數,Ta(6)的找尋,的士數,
6個的士數
第n個的士數(Taxicab number)，一般寫作Ta(n)或Taxicab(n)，定義為最小的數能以n個不同的方法表示成兩個正立方數之和。1954年，G·H·哈代與愛德華·梅特蘭·賴特證明對於所有正整數n這樣的數也存在。可是他們的證明對找尋的士數毫無幫助，截止現時，只找到6個的士數（OEIS:A011541）（目前找到14個）：
| n | Ta(n) | a^3+b^3 | 發現日期 | 發現者 |
|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 1 1 | ||
2 | 1729 | 1 12 9 10 | 1657年 | Bernard Frenicle de Bessy |
3 | 8753,9319 | 167 436 228 423 255 414 | 1957年 | John Leech |
4 | 6,9634,7230,9248 | 2421 1,9083 5436 1,8948 1,0200 1,8072 1,3322 1,6630 | 1991年 | E. Rosenstiel, J. A. Dardis, C. R. Rosenstiel |
5 | 4,8988,6592,7696,2496 | 3,8787 36,5757 10,7839 36,2753 20,5292 34,2952 22,1424 33,6588 23,1518 33,1954 | 1997年11月 | David W. Wilson |
6 | 241,5331,9581,2543,1206,5344 | 58,2162 2890,6206 306,4173 2889,4803 851,9281 2865,7487 1621,8068 270,93208 1749,2496 265,90452 1828,9922 2622,4366 | 2008年5月 | U. Hollerbach |
7 | 24885189317885898975235988544 | 58798362 2919526806 309481473 2918375103 459531128 2915734948 860447381 2894406187 1638024868 2736414008 1766742096 2685635652 1847282122 2648660966 | ||
8 | 50974398750539071400590819921724352 | (7467391974 370779904362) (39304147071 370633638081) (58360453256 370298338396) (109276817387 367589585749) (208029158236 347524579016) (224376246192 341075727804) (234604829494 336379942682) (288873662876 299512063576) | ||
9 | 136897813798023990395783317207361432493888 | (1037967484386 51538406706318) (4076877805588 51530042142656) (5463276442869 51518075693259) (8112103002584 51471469037044) (15189477616793 51094952419111) (28916052994804 48305916483224) (31188298220688 47409526164756) (32610071299666 46756812032798) (40153439139764 41632176837064) | ||
10 | 7335345315241855602572782233444632535674275447104 | (391313741613522 19429979328281886 ) (904069333568884 19429379778270560) (1536982932706676 19426825887781312) (2059655218961613 19422314536358643) (3058262831974168 19404743826965588) (5726433061530961 19262797062004847) (10901351979041108 182113305141754483) (11757988429199376 178733913641130123 ) (122939968799740823 176273181363648463 ) (151378465556910283 156953306675731283) | ||
11 | 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632 | 284485090153030494+ 14125594971660931122 657258405504578668 + 14125159098802697120 1117386592077753452 + 14123302420417013824 1497369344185092651+ 14120022667932733461 2223357078845220136+ 14107248762203982476 4163116835733008647 + 14004053464077523769 67163799217793993263 + 136001929743147327863 = 7925282888762885516+ 13239637283805550696 8548057588027946352+ 12993955521710159724 8937735731741157614 + 12815060285137243042 11005214445987377356+ 11410505395325664056 | ||
12 | 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152 | 845205202844653597674+ 41967142660804626363462 1933097542618122241026 + 41965889731136229476526 1952714722754103222628 + 41965847682542813143520 3319755565063005505892+ 41960331491058948071104 4448684321573910266121 + 41950587346428151112631 6605593881249149024056+ 41912636072508031936196 12368620118962768690237 + 41606042841774323117699 19954364747606595397546 + 40406173326689071107206 23546015462514532868036+ 39334962370186291117816 253962790940310286117923 + 386050418550008845400043 = 26554012859002979271194+ 38073544107142749077782 32696492119028498124676 + 33900611529512547910376 | ||
13 | 5988146776742829080553965820313279739849705084894534523771076163371248442670016 | (3657202912708816117135398 + 181591826293301618274700074) (8364513066908614936919502 + 181586404866626464944928002) (8449396605357004644311356 + 181586222922362752472011040) (14364582330027624823994684+ 181562354361812068303667008) (19249457059450309721505567 + 181520191447994609864354337) (28582404724165067827090312 + 181355976285742254187920092) (53519019254751900122655499 + 180029347376357496130283573) (54818831102057750995052604+ 179911586979069103444414128) (86342536262893738285181542 + 174837511984583610680880362) (101883608906300383719991772 + 170202382175796081666789832) (109889699639872260803223984 + 167044016106588827404597308) (114899213640905891306456438 + 164744225351606675259562714) (141477721399036311385473052 + 146687946088200794808196952) | ||
14 | 2576088109257300012819637660033432990289770725881505682307757452553496715044742867424072384 | 數字中最後一位3是三次方，驗證時應去掉 (276082247880388528682551195023 + 13708366966881339163557108586263 = 631437091420931341588053205983 + 13707957703381631838692614870983 = 637844949738400280599064264443 + 13707943968409164184112113409603 = 1084382320093785397963358695163 + 13706142130773193036243822433923 = 1453141513417903880876455252833 + 13702959252409113098660108900133 = 2157685732627220970267047652883 + 13690562649810682768646087745083 = 4040150763541220940259263619513 + 13590415433441227382875106925773 = 4138273559894339622616521075963 + 13581525701049926619018822522723 = 6179898306822799485759322968803 + 13276277702741786024201310344443 = 6517998062485848303148354605583 + 13198483779716216770299658527383 = 7691193636336615967022178868283 + 12848577830450846205025964417683 = 8295573425813956968035378552163 + 12610152775886390580773050780923 = 8673741637751985734724396504623 + 12436541571792787915344389279863 = 10680153188413251146489360695483 + 11073473050198278000070787906483) |
Ta(2)因為哈代和拉馬努金的故事而為人所知：
我（哈代）記得有次去見他（拉馬努金）時，他在Putney病得要命。我乘一輛編號1729的的士去，並記下(7·13·19)這個看來沒趣的數，希望它不是什麼不祥之兆。“不，”他說，“這是個很有趣的數；它是最小能用兩種不同方法表示成兩個（正）立方數的數。這也是“的士數”一詞的來源。
在Ta(2)之後，所有的的士數均有用電腦來找尋。
Ta(6)的找尋
David W. Wilson證明了Ta(6) ≤ 8,2305,4525,8248,0915,5120,5888。
1998年丹尼爾·朱利阿斯·伯恩斯坦證實39,1909,2742,1569,9968 ≥ Ta(6) ≥ 10
2002年Randall L. Rathbun證明Ta(6) ≤ 241,5331,9581,2543,1206,5344
2003年5月，Stuart Gascoigne確定Ta(6)> 6.8*10^19 ，且Cristian S. Calude、Elena Calude及Michael J. Dinneen顯示Ta(6)=241,5331,9581,2543,1206,5344的機會大於99%。
的士數
第n個的士數（cabtaxi number），表示為Cabtaxi(n)，定義為能以n種方法寫成兩個或正或負或零的立方數之和的正整數中最小者。它的名字來自的士數的顛倒。對任何的n，這樣的數均存在，因為的士數對所有的n都存在。現時只有10個士的數是已知的（OEIS：A047696）：
| n | Ca(n) | a^3+b^3 | 發現日期 | 發現者 |
|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 0 | ||
2 | 91 | 3 4 6 -5 | ||
3 | 728 | 6 8 9 -1 12 -10 | ||
4 | 274,1256 | 2421 1,9083 140 -14 168 -126 207 -183 | ||
5 | 601,7193 | 166 113 180 57 185 -68 209 -146 246 -207 | Randall L. Rathbun | |
6 | 14,1277,4811 | 963 804 113 ,-357 1155 -504 1246 -805 2115 -2004 4746 -4725 | Randall L. Rathbun | |
7 | 113,0219,8488 | 1926 1608 1939 1589 2268 -714 2310 -1008 2492 -1610 4230 -4008 9492 -9450 | Randall L. Rathbun | |
8 | 137,5138,4900,3496 | 2,2944 5,0058 3,6547 4,4597 3,6984 4,4298 5,2164 -1,6422 5,3130 -2,3184 5,7316 -3,7030 9,7290 -9,2184 21,8316 -21,7350 | Daniel J. Bernstein | |
9 | 42,4910,3904,8079,3000 | 64,5210 53,8680 64,9565 53,2315 75,2409 -10,1409 75,9780 -23,9190 77,3850 -33,7680 83,4820 -53,9350 141,7050 -134,2680 317,9820 -316,5750 596,0010 -595,6020 | Duncan Moore 在2005年2月1日使用伯恩斯坦的方法找到 | |
10 | 9,3352,8127,8863,0222,1000 | 7748,0130 -7742,8260 4133,7660 -4115,4750 1842,1650 -1745,4840 1085,2660 -701,1550 1006,0050 -438,9840 987,7140 -310,9470 978,1317 -131,8317 977,3330 -8,4560 844,4345 692,0095 838,7730 700,2840 | Christian Boyer在2006年找到。 由Uwe Hollerbach檢查並於2008年5月16日於 NMBRTHRY mailing list發表 |
