獨立性(統計學)

設A，B為隨機事件，若同時發生的機率等於各自發生的機率的乘積，則A，B相互獨立。

一般地，設A₁，A₂，...，A_n是n(n≥2) 個事件，如果對於其中任意2個，任意3個，...，任意n個事件的積事件的機率，都等於各事件機率之積，則稱A1，A2，...，An相互獨立。

基本介紹

• 中文名：獨立性
• 外文名：independence
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：機率論
• 常用公式：P(AB)=P(A)P(B)

兩個事件的獨立性

定義1

若 兩事件滿足等式

則稱事件A與B相互獨立。

注意點

(1) 機率為零的事件與任何事件相互獨立；

(2) 當 時， 相互獨立與 互不相容不能同時成立，它們是完全不同的兩個概念： 相互獨立是從機率的角度來考慮的， 互不相容是從事件本身來考慮的。

性質定理

定理1 設 是兩事件。且 ，若 相互獨立。則P(A|B)=P(A)，反之亦然。

定理2 若事件A與B相互獨立，則 與 ， 與 ， 與 也相互獨立。

證明: 這裡只證明與相互獨立。

由，得

所以與相互獨立。

有限個事件的獨立性

三個事件相互獨立

設 為3個事件，如果滿足等式

則稱事件 相互獨立。

對 個事件的獨立性，可類似寫出其定義。

n個事件相互獨立

一般地，設 是 個事件，如果對於其中任意2個，任意3個，...，任意 個事件的積事件的機率，都等於各事件機率之積，則稱 相互獨立。

兩兩獨立

設 是 個事件，若其中任意兩個事件之間均相互獨立，則稱 兩兩獨立。

註：相互獨立一定兩兩獨立、兩兩獨立不一定相互獨立。

例題：如果將一枚硬幣拋擲兩次，觀察正面H和反面T的出現情況，則此時樣本空間為 ，令 。

則

故有

由定義1知， 任意兩個事件都是相互獨立的，但是

也就是說 兩兩獨立，並不相互獨立。

相互獨立性的性質

性質1

若事件 相互獨立，則其中任意 個事件也相互獨立。

由獨立性定義可直接推出性質1。 ’

性質2

若n個事件 相互獨立，則將 中任意 個事件換成它們的對立事件，所得的n個事件仍相互獨立。

從直觀上看是顯然的，對 時，定理2已作證明，一般情況叮利用數學歸納法證之，此處略。

與相關性的關係

假設隨機變數X、Y的相關係數存在。如果X和Y相互獨立，那么X、Y不相關。反之，若X和Y不相關，X和Y卻不一定相互獨立。不相關只是就線性關係來說的，而相互獨立是就一般關係而言的。

例題解析

例1 有兩門高射炮獨立地射擊一架敵機，設甲炮擊中敵機的機率為0.8，乙炮擊中敵機的機率為0.7，試求敵機被擊中的機率。

解： 設A={甲炮擊中敵機}，B={乙炮擊中敵機}，則A U B={敵機被擊中}，由題意知，P(A)=0.8，P(B)=0.7，由於A，B相互獨立。故

例2 有甲、乙兩批種子，發芽率分別為0.8和0.7，並假設每批種子發芽與否是相互獨立的，從兩批種子中各隨機地抽取一粒，求：

(1)兩粒都能發芽的機率；

(2)至少有一粒種子能發芽的機率；

(3)恰好有一粒種子能發芽的機率。

解: 設A={取自甲批種子中的某粒種子能發芽}，B={取自乙批種子中的某粒種子能發芽}，則所求的機率分別為：。

由於 ，且 相互獨立，故有：

例3 甲、乙兩人進行網球比賽。每局甲勝的機率為p，且 ．試問對甲而言，採用三局二勝制有利，還是採用五局三勝制有利？設各局勝負相互獨立。

解： 採用三局二勝制，甲最終獲勝，其勝局的情況是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”，而這三種結局互不相容，於是由獨立性得甲最終獲勝的機率為 。

採用五局三勝制，甲最終獲勝，至少需比賽3局(可能賽3局．也可能賽4局或5局)，且最後一局必須是甲勝，而前面甲需勝二局。例如．共賽4局，則甲的勝局情況是：“甲乙甲甲”、“乙甲甲甲”、“甲甲乙甲”、且這三種結局互不相容，由獨立性得甲最終獲勝的機率為：

於是，。

當 時， ，即對甲來說採用五局三勝制較為有利；當 時， 即兩種賽制甲、乙最終獲勝的機率相同。

上面這個例子所涉及的隨機試驗只有兩種可能的結果：甲勝或甲輸，且試驗在相同條件下可獨立重複地進行，在每次試驗中甲勝的機率都是相同的，具有這種特徵的概型就是伯努利概型。