狄拉克代數

狄拉克代數（Dirac Algebra）指以16個狄拉克矩陣作為基矢，構建的線性空間中的代數結構。此外，在該空間中通過定義反對易關係，從而定義狄拉克矩陣之間的乘法關係。數學結構上類似於環。

基本介紹

• 中文名：狄拉克代數
• 外文名：Dirac Algebra

定義

首先我們定義狄拉克代數的基矢，也就是16個狄拉克矩陣（實際上在4維情況下狄拉克矩陣有多種表示，但狄拉克代數的性質與其具體表示的選取無關）：

標量型矩陣：；

矢量型矩陣：，共4個；

贗標量矩陣：；

贗矢量矩陣：，共4個；

張量型矩陣：，共6個。

此外我們要求：

其中為洛倫茲度規，也具有不同的取法。

通過如上定義，不難證明任一兩個狄拉克矩陣的乘積可以表達為這16個狄拉克矩陣的線性組合。我們設為任一一種狄拉克矩陣的線性組合（有時也直接管叫狄拉克矩陣），那么兩個任意矩陣的乘積也是16個狄拉克矩陣的線性組合。這樣我們就定義了一個關於加法、乘法都封閉的代數結構。

性質

加法滿足交換律、結合律、對數乘的分配律：

乘法滿足結合律、對加法的左、右分配律：

此外還有：

套用

狄拉克代數在描述狄拉克型費米子場時不可或缺，尤其是在構建諸如矢量流、贗矢流等的過程中。

標準模型中大部分的基本粒子是狄拉克型費米子，如夸克、輕子。它們的表述與相互作用的計算都離不開狄拉克代數。

此外在強子、介子衰變的研究中，也廣泛套用狄拉克代數。