特徵多項式

對於求解線性遞推數列，我們還經常使用生成函式法，而對於常係數線性遞推數列，其生成函式是一個有理分式，其分母即特徵多項式。

為n*n的矩陣A的特徵多項式為|A-λE|，其中E為n*n的單位矩陣。

基本介紹

• 中文名：特徵多項式
• 外文名：characteristic polynomial
• 套用學科：數學
• 所屬領域：線性代數
• 相關術語：矩陣
• 表示：|A-λE|

定義

設為域（例如實數或複數域），對布於上的 矩陣，定義其特徵多項式為

這是一個n次多項式，其首項係數為一。

一般而言，對布於任何交換環上的方陣都能定義特徵多項式。

要理解特徵多項式，首先需要了解一下特徵值與特徵向量，這些都是聯繫在一起的：

設A是n階矩陣，如果數λ和n維非零列向量x使得關係式Ax=λx成立，那么，這樣的數λ就稱為方陣A的特徵值，非零向量x稱為A對應於特徵值λ的特徵向量。

然後，我們也就可以對關係式進行變換：(A-λE)x=0 其中E為單位矩陣。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充要條件是係數行列式為0，即|A-λE|=0。帶入具體的數字或者符號，可以看出該式是以λ為未知數的一元n次方程，稱為方陣A的特徵方程，左端 |A-λE|是λ的n次多項式，也稱為方陣A的特徵多項式。

解法

1、把|λE-A|的各行（或各列）加起來，若相等，則把相等的部分提出來（一次因式）後，剩下的部分是二次多項式，肯定可以分解因式。

2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的兩個元素之一化為零，往往會出現公因子，提出來，剩下的又是一二次多項式。

3、試根法分解因式。

性質

當A為上三角矩陣（或下三角矩陣）時，，其中 是主對角線上的元素。

對於二階方陣，特徵多項式能表為。一般而言，若 ，則 。

此外：

（1）特徵多項式在基變更下不變：若存在可逆方陣 C使得，則。

（2）對任意兩方陣，有。一般而言，若A為矩陣，B 為矩陣（設 ），則。

（3）凱萊-哈密頓定理：。