牛頓多邊形

牛頓多邊形(Newton's polygon)是一階亨澤爾域上多項式可約性的一種判別法。亨澤爾域亦稱亨澤爾賦值域。一種重要的賦值域。若φ是域F的一個亨澤爾賦值，則稱賦值域(F，φ)為亨澤爾域，或稱亨澤爾賦值域。

基本介紹

• 中文名：牛頓多邊形
• 外文名：Newton's polygon
• 領域：數學
• 性質：可約性判別法
• 對象：亨澤爾域上多項式
• 人物：牛頓

概念

牛頓多邊形(Newton's polygon)是一階亨澤爾域上多項式可約性的一種判別法。設(F，v)是一階亨澤爾域，v取加法賦值，對於F上任一多項式：

可以在實平面上定出至多n+1個有限點(i，v(a_i))；當a_j=0時，(j，∞)將不計入(見圖1)；由所設a₀a_n≠0，(0，v(a₀))和(n，v(a_n))分別是圖中最左和最右的點。自(0，v(a₀))出發，自左至右，連結圖中的點可以作出一個凹向上的多邊形，使得圖中其餘的點都位於多邊形的上方(見圖2)，稱這樣得出的多邊形為f(X)的牛頓多邊形。與f(X)的牛頓多邊形的每條邊相對應的，有f(X)在F上的一個因式。因此，當f(X)的牛頓多邊形有s(>1)條邊時，f(X)在F上必定是可約的。但當邊數為1時，卻不能據此斷言f(X)在F上是不可約的。

圖1、圖2牛頓多邊形

亨澤爾域

亨澤爾域亦稱亨澤爾賦值域。一種重要的賦值域。若φ是域F的一個亨澤爾賦值，則稱賦值域(F，φ)為亨澤爾域，或稱亨澤爾賦值域。對於亨澤爾域(F，φ)的任何代數擴張K，φ在K上只有惟一的拓展ψ，此時(K，ψ)也是亨澤爾域.在亨澤爾域(F，φ)中，除與φ等價的賦值外，其他的賦值都是反亨澤爾賦值。若(F，φ)的賦值域擴張(K，ψ)是個亨澤爾域，則稱(K，ψ)是賦值域(F，φ)的亨澤爾擴張。在早期的文獻中，亨澤爾域被稱為相對完全域，這個概念最初來自奧斯特洛夫斯基(Ostrowski，A.M.)於1932年對一階賦值域的研究。

賦值環

賦值環是一種特殊的局部環。也是重要的交換環類。交換環R稱為賦值環，是指它滿足以下等價條件之一：

1.對任意a，b∈R，恆有a∈Rb或b∈Ra，換言之，必有a整除b或b整除a。

2.R的所有理想(對於包含關係)組成線性序集。

3.R是局部環且任意有限生成理想是主理想.滿足條件3的環也稱為貝祖特環。

賦值環是交換的特殊序列環。它與戴德金環有密切的關係.事實上，交換諾特局部整環是賦值環若且唯若它是戴德金環。賦值環上的模具有良好的分解性質，馬特利斯(Matlis，E.)於1957年證明：賦值環R上任意有限生成模M的內射包E(M)是有限個不可分解內射模的直和，或等價於M有有限哥爾迪維數。賦值環R上任意有限表示模是循環表示模的直和，從而推廣了卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)的工作。

牛頓

英國著名的物理學家、天文學家和數學家，古典力學理論體系的創始人。他在伽俐略和刻普勒等前人研究成果的基礎上，結合他自己的科學實踐，總結出力學運動的三個基本定律(慣性定律、力和加速度定律、作用和反作用定律)和萬有引力定律，奠定了古典力學的基礎，實現了近代自然科學的第一次綜合。他的上述科學成就，發表在《自然哲學的數學原理》(1687)一書中。為了研究力學中的變速和變加速運動，牛頓創立了“流數法”，即微積分計算法。他對光學也有深入的研究。他在《光學》(1704)一書中論述了光的分解、反射望遠鏡、薄膜顏色等重要成果。他提出的光的“微粒說”在物理學界有很大影響。在數學上，他創立了二項式定理和無限理論，並與萊布尼茲同時發明了微積分等。在自然科學領域，牛頓基本是唯物主義者。他堅持唯物主義的經驗論，特別重視實驗和歸納推理的作用，主張驅除經院哲學中鼓吹的超自然的神密的“隱質”，堅持用實驗來證明科學發現的正確性。他繼承了古希臘進步的唯物主義的原子論，承認物質、運動、時空的客觀存在，承認世界客觀規律的存在及其可知性。這種唯物主義的傾向是他取得重大科學成果的一個思想原因。但是他的自然觀是形上學的機械論。他認為宇宙萬物沒有任何發展的歷史，是永遠不變的。他把物質的一切運動形式都歸結為機械運動，認為運動只是位置的變更和單純的循環，沒有任何質的變化。在認識論上，他是狹隘的經驗論者。他蔑視理論思維，否定假說的意義。他的“我不虛構假說”的座右銘成為18世紀科學界經驗主義的口號。由於他蔑視理論思維，所以他擺脫不了形上學和神學的束縛，無法解釋行星運動初始的切線速度，只能歸結為“神的第一次推動的假定”。牛頓晚年把主要精力用於鍊金術和神學的研究，埋頭於《約翰啟示錄》的注釋，成為神學的信徒。牛頓的科學貢獻和哲學思想，在近代以至現代都有重大的影響。