空間多邊形

基本介紹

不在同一個平面內的若干線段(至少有四條)，首尾相接，並且最後一條的尾端和最初一條的首端重合，這樣組成的圖形叫做“空間多邊形”。例如，空間四邊形就是最簡單的空間多邊形。

【例1】試證內接於空間四邊形的任何平面四邊形的對邊如果相交，那么交點必定在空間四邊形的對角線上。

已知：如圖2，空間四邊形ABCD，又平面四邊形PQRS的頂點P、Q、R、S分別線上段AB、AD、CD、CB上，且PQ∩SR=K。

求證：K∈BD。

證明 ∵ P∈AB，Q∈AD，K∈PQ，

∴PQ⊂平面ABD，∴ K∈平面ABD，

同理K∈平面BCD，∴K∈BD。

說明：怎樣證明點在直線上?本題告訴我們，如果要證明點在兩個平面的交線上，那么只需要證明這個點既在第一個平面上又在第二個平面上即可。

相關結論及證明

空間四邊形

1.證明:空間四邊形各邊的中點是平行四邊形的頂點。

提示設A₁,B₁,C₁和D₁是邊AB.BC,CD和DA的中點，則A₁B₁ // AC和C₁D₁// AC,所以A₁B₁//C₁D₁(特別地,點A₁,B₁,C₁和D₁在一個平面上),類似地B₁C₁// A₁D₁。

2.證明:問題1中的平行四邊形的中心與連線四邊形對角線中點的線段的中點重合。

提示設A₁,B₁,C₁和D₁是邊AB,BC,CD和DA的中點。再設P和Q是對角線AC和BD的中點，則線段A₁Q和PC₁平行於線段AD,同時這兩個線段每一個的長等於線段AD長的一半，因此A₁PC₁Q是平行四邊形，所以線段A₁C₁的中點與線段PQ的中點重合。

3. 證明:空間四邊形ABCD的對邊兩兩相等，若且唯若它們的對角兩兩相等。

提示如果AB=CD和BC=AD，那么三角形ABC和CDA全等，所以∠ABC=∠CDA，類似有∠BAD=∠DCB.。

現在假設∠ABC=∠CDA和∠BAD=∠DCB，我們考察四面體abed，它的界面垂直於四面體ABCD的邊，也就是AB⊥bed,BC⊥cda,CD⊥dab和DA⊥abc，根據條件平面bcd和cda之間的角等於平面dab和abc之間的角，即,棱ad上的二面角等於棱ab上的二面角。此外，棱bc上的二面角等於棱ad上的二面角，由兩對二面角的等式推得三面角abcd和cdba的相等(這兩個三面角在棱ac上的二面角是公用的)，由三面角的等式推得它們對應的面角相等，特別地，∠bac=∠dca 和∠acb=∠cad，所以 △abc≌△cda，類似地，△dab ≌△bcd。