漸近分析

漸近分析是一種描述函式在極限附近的行為的方法。漸近分析方法在多個科學領域得到套用。在統計，漸近理論提供限制的近似機率分布的樣本統計，如似然比統計量和所述期望值中的偏差。漸近分析也是探索現實世界現象的數學建模中出現的常微分方程和偏微分方程的關鍵工具。

基本介紹

• 中文名：漸近分析
• 外文名：Asymptotic Analysis

例子

• 在計算機科學中，算法分析考慮給定算法在輸入非常大的數據集時候的性能。
  
• 當實體系統的規模變得非常大的時候，分析它的行為。
  

最簡單的例子如下：考慮一個函式，我們需要了解當變得非常大的時候的性質。

令，在特別大的時候，第二項比起第一項要小很多。

於是對於這個函式，有如下斷言：在的情況下與漸近等價”，記作。

漸進等價

定義：給定關於自然數的複函數和，命題表明（使用小o符號）：

或（等價記法）：

這說明，對所有正常數，存在常量，使得對於所有的有：

當不是0或者趨於無窮大時，該命題可等價記作：

漸進等價是一個關於的函式的集合上的等價關係。非正式地，函式的等價類包含所有在極限情況下近似等於的函式。

漸近展開

函式的漸近展開是它的一種級數展開。這種展開的部分和未必收斂，但每一個部分和都表示的一個漸近表示式。例子：斯特靈公式。

漸近式的例子

• 階乘
  

• 分區功能
  

對於正整數n，分區函式p（n）給出了將整數n寫成正整數之和的方法的數量，其中不考慮加數的順序。

• 艾里功能
  

艾里函式Ai（x）是微分方程y“-xy=0的解;它在物理學中有很多套用。

套用

漸近分析方法在多個科學領域得到套用。在統計，漸近理論提供限制的近似機率分布的樣本統計，如似然比統計量和所述期望值中的偏差。然而，漸近理論並不提供評估樣本統計量的有限樣本分布的方法。非漸近界由近似理論的方法提供。

應用程式的例子如下。

• 在套用數學中，漸近分析被用來建立數值方法來逼近方程解。
  
• 在數理統計和機率論中，隨機變數和估計量的長期或大樣本行為分析採用漸近方法。
  
• 在計算機科學中分析算法，考慮算法的性能。
  
• 物理系統的行為，例如統計力學。
  
• 在事故分析中，通過計數建模來識別崩潰的原因，在給定的時間和空間內有大量的碰撞計數。
  

漸近分析是探索現實世界現象的數學建模中出現的常微分方程和偏微分方程的關鍵工具。一個說明性的例子是從控制流體流動的完整Navier-Stokes方程推導邊界層方程。在許多情況下，漸近擴展是在一個小的參數，的功率ε：在邊界層的情況下，這是無量綱的邊界層厚度相對於問題的典型長度尺度比。事實上，漸近分析在數學建模中的套用往往圍繞一個無量綱的參數，通過考慮手邊的問題的尺度，已經顯示或假定為很小的參數。

漸近展開通常出現在某些積分（拉普拉斯方法，鞍點方法，最速下降方法）或近似機率分布（埃奇沃思（Endworth）系列）的逼近中。該費曼圖在量子場論是往往不收斂漸近展開的另一個例子。

另見

• 漸近線
  
• 漸近的計算複雜度
  
• 漸近密度（在數論中）
  
• 漸近理論（統計學）
  
• Asymptotology
  
• 大O符號
  
• 領導階段
  
• 統計平衡法（ODE）
  
• 匹配漸近展開式的方法
  
• 沃森的引理