漸屈線

漸屈線

漸屈線是曲線微分幾何中的概念,它是曲線上密切圓圓心的軌跡。等價的描述是一條曲線的漸屈線即是其法線包絡

漸屈線與漸伸線是一對相對的概念,若曲線A是曲線B的漸屈線,曲線B即為曲線A的漸伸線。每條曲線的漸屈線唯一確定,但卻可以有無窮多條漸伸線。

基本介紹

  • 中文名:漸屈線
  • 外文名:Evolute
  • 領域:數學
  • 適用領域:微分幾何
曲線的微分幾何,概述,定義,法線,法線的計算,法線的唯一性,包絡線,漸伸線,概述,參數化曲線,

曲線的微分幾何

概述

曲線的微分幾何幾何學的一個分支,使用微分積分專門研究平面歐幾里得空間中的光滑曲線
從古代開始,許多具體曲線已經用綜合方法深入研究。微分幾何採取另外一種方式:把曲線表示為參數形式,將它們的幾何性質和各種量,比如曲率弧長,用向量分析表示為導數積分。分析曲線最重要的工具之一為Frenet 標架,是一個活動標架,在曲線每一點附近給出“最合適”的坐標系。
曲線的理論比曲面理論及其高維推廣的範圍要狹窄得多,也簡單得多。因為歐幾里得空間中的正則曲線沒有內蘊幾何。任何正則曲線可以用弧長(“自然參數”)參數化,從曲線上來看不能知道周圍空間的任何信息,所有曲線都是一樣的。不同空間曲線只是由它們的彎曲和扭曲程度區分。數量上,這由微分幾何不變數曲線的“曲率”和“撓率”來衡量。曲線基本定理斷言這些不變數的信息完全確定了曲線。

定義

是一個正整數,
是正整數或
是實數非空區間,
屬於
。一個
類(即
連續可微向量值函式
稱為一條
類參數曲線或曲線
的一個
參數化,
稱為曲線
的參數,
稱為曲線的。將曲線
和曲線的像
區別開來非常重要,曲線是一個映射,而像是一個集合。一個給定的像可以描述為許多不同的
曲線。
可以想像參數
代表時間,而曲線
作為空間中一個運動粒子軌跡
如果I是閉區間 [a,b],我們稱 γ(a) 為曲線 γ 的起點而 γ(b) 為終點
如果
,我們說 γ 是閉的或是一個環路。進一步,我們稱 γ 是一條閉 C-曲線,如果 γ(a) = γ(b) 對所有kr
如果
單射,我們稱為簡單曲線。
如果參數曲線
局部可寫成冪級數,我們稱曲線解析或是
類。記號 -
表示朝相反的方向運動的曲線。
一條
-曲線
稱為
階正則若且唯若對任何
屬於
線性無關
特別地,一條
-曲線
正則的如果
對任何

法線

三維平面法線垂直於該平面的三維向量。曲面在某點P處的法線為垂直於該點切平面(tangent plane)的向量。
法線是與多邊形(polygon)的曲面垂直的理論線,一個平面(plane)存在無限個法向量(normal vector)。在電腦圖學(computer graphics)的領域裡,法線決定著曲面與光源(light source)的濃淡處理(Flat Shading),對於每個點光源位置,其亮度取決於曲面法線的方向。

法線的計算

對於像三角形這樣的多邊形來說,多邊形兩條相互不平行的邊的叉積就是多邊形的法線。
用方程
表示的平面,向量
就是其法線。
如果S曲線坐標x(s,t)表示的曲面,其中st實數變數,那么用偏導數叉積表示的法線為
如果曲面S隱函式表示,點集合
滿足
,那么在點
處的曲面法線用梯度表示為
如果曲面在某點沒有切平面,那么在該點就沒有法線。例如,圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線,但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

法線的唯一性

曲面法線的法向不具有唯一性(uniqueness),在相反方向的法線也是曲面法線。曲面在三維的邊界(topological boundary)內可以分區出inward-pointing normal 與 outer-pointing normal, 有助於定義出法線唯一方法(unique way)。定向曲面的法線通常按照右手定則來確定。

包絡線

幾何學,某個曲線族的包絡線(Envelope),是跟該曲線族的每條線都有至少一點相切的一條曲線。(曲線族即一些曲線的無窮,它們有一些特定的關係。)
設一個曲線族的每條曲線
可表示為
,其中
是曲線族的參數
是特定曲線的參數。若包絡線存在,它是由
得出,其中
以以下的方程求得:
若曲線族以隱函式形式
表示,其包絡線的隱方程,便是以下面兩個方程消去
得出。
繡曲線是包絡線的例子。直線族
(其中
是常數,
是直線族的變數)的包絡線為拋物線

漸伸線

概述

漸伸線(involute)(或稱漸開線(evolent))和漸屈線(evolute)是曲線的微分幾何上互為表里的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線,曲線B是曲線A的漸屈線。
在曲線上選一定點S。有一動點P由S出發沿曲線移動,選在P的切線上的Q,使得曲線長SP和直線段長PQ相同。漸伸線就是Q的軌跡。
若曲線B有參數方程,其中
,曲線A的方程為
曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。
若該曲線有參數方程
),則其漸屈線為
每條曲線可有無窮多條漸伸線,但只有一條漸屈線。

參數化曲線

漸開線方程曲線的參數化定義的函式( x(t) , y(t) )是:

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