正規擴張

正規擴張是抽象代數中的概念，屬於域擴張中的一類。一個域擴張L/K是正規擴張若且唯若擴域L是多項式環K[X]中的某個多項式的分裂域。布爾巴基學派將這類擴張稱為“準伽羅瓦擴張”。正規擴張是代數擴張的一種。

基本介紹

• 中文名：正規擴張
• 外文名：Normal expansion
• 領域：數學
• 套用：抽象代數；代數擴張

定義

正規擴張的定義不止一種，以下三個準則都可以刻畫正規擴張，是三個等價的定義。域擴張L/K是正規擴張若且唯若它滿足以下三個等價條件中任意一個：

1. L是多項式環K[X]中的某一族多項式的分裂域。
   
2. 設K是一個包含了L的K的代數閉包。對於L在K上的每一個嵌入σ，只要它限制在K上的部分是平凡的（即為恆等映射：σ(x)=x），那么就有σ(L) =L。換句話說，L在K上的每一個K-嵌入σ都是一個L上的K-自同構。
   
3. 任意一個K[X]上的不可約多項式，只要它在L中有一個根，那么就可以在L[X]分解成一次因式的乘積（或者說全部的根都在L中）。
   

例子

是的一個正規擴張，因為它是上的多項式的分裂域。然而，並不是的一個正規擴張，因為上的不可約多項式有一個根：在裡面，但它的另外兩個根：和都是複數，不在裡面。只有在加入了三次單位根：後的擴域才是一個正規擴張。

也可以用正規擴張的第二個定義來證明不是的正規擴張。設域是由所有復代數數生成的擴域，則是的一個代數閉包，並且在裡面。另一方面，

並且，如果記是的復根之一，那么映射：

是在上的一個嵌入，並且它限制在上的部分是平凡的（將中元素映射到自己）。但是σ並不是上的自同構。

更一般地，對每一個素數p，域擴張都是的一個正規擴張，擴張的次數是p(p-1)。是上的多項式的分裂域。其中的是任意一個複數p次單位根。

性質

設有域擴張L/K，那么：

1) 如果L是K的正規擴張，並且F是一個子擴張（也就是說有擴張K⊂F⊂L）那么L也是F的正規擴張。

2) 如果L的子域E和F都是K的正規擴張，那么兩者的複合擴張EF（指L的子域中同時包含E和F的最小者）以及兩者的交E∩F也都是K的正規擴張。

正規閉包

設有域擴張L/K，那么總存在域擴張M/L，使得M/K是正規擴張。在同構意義上，最小的這樣的擴張是唯一。即是說，其他的域擴張N/L如果使得N/K是正規擴張，那么總存在N/L的子擴張M'/L，使得M'同構於M。這個唯一的“最小”正規擴張M/L稱為域擴張L/K的正規閉包。

如果L/K是有限擴張，那么它的正規閉包M/L也是有限擴張（因此M/K也是有限擴張）。