正規子群

設G是一個群 ，H是其子群。 若H的左陪集與右陪集總是相等（對任何的a∈G，aH=Ha）， 則稱H是G的正規子群或不變子群，記為H⊴G。

註：(1) 任何群G都有正規子群，因為G的兩個平凡子群G和{e}都是G的正規子群。 (2) 若G是交換群， 則G的所有子群都是正規子群。

基本介紹

• 中文名：正規子群
• 外文名：normal subgroup
• 領域：代數
• 別名：不變子群
• 性質：子群
• 記號：H⊴G

定義

設G是一個群 ，H是其子群。 若且唯若H滿足如下條件之一，稱H是G的正規子群或不變子群，記為H⊴G。

1. H的左陪集與右陪集總是相等。

2. ，aH = Ha。

判定條件

除了定義，判定H是G的正規子群。有如下一些等價的條件：

1. ， ；

證： 必要性：任取a ∈ G , n ∈H , 由於H是正規子群, an ∈aH=Ha , 故∃n1 ∈ H,

使得an =n1a, 從而。

充分性 : 任取an ∈aH , 由條件, ，故∃n 1 ∈ H , 使得，從而

an =n 1a ∈ Ha ，故 aH ⊆ Ha .

反之, 任取na ∈Ha , 由於，故由條件，， 因此必∃n 1 ∈ H , 使得，從而na = an 1 ∈aH , 故Ha ⊆ an .

由以上兩方面知, aH=Ha ( ∀a ∈ G ), 因而H是G的正規子群.

2. a∈G, ；

證:任取a ∈ G，有，故H是G的正規子群。

3. 對任何a∈G， aH=Ha;

4. 對任何a∈G，b∈G，如果ab∈H,那么總有ba∈H;

5. 商集G/H上有群運算： (aH)(bH)=(ab)H

6. H是 G 的若干共軛類的交集。

7. 有在其中 H為核的某個 G 上的群同態。

正規子群的實例

• n次 交錯群 A_n (即所有偶置換)是n元對稱群S_n的正規子群。
• 特殊線性群 SL_n 是一般線性群GL_n的正規子群。
• 任何交換群的子群都是其正規子群。
• 一個群G總有兩個平凡的正規子群H={e}和H=G。
• {e}和G自身總是G的正規子群。如果G只有這兩個正規子群，就叫做單群。
• 群G的中心是G的正規子群。
• 群G的交換子群是G的正規子群。
• 一個阿貝爾群(或交換群)的所有子群都是它的正規子群，因為顯然有gH = Hg。不是阿貝爾群，但全部子群都是正規子群的群叫做哈密爾頓群(Hamiltonian group)，階數最小的例子是四元數單位 對乘法構成的群 。
• 任何有限維歐幾里得空間中，平移群都是歐幾里得群的正規子群。比如說在3維空間中，先旋轉，平移，再作原來旋轉的逆，結果是原來的平移。先做鏡面對稱，平移，再作原來鏡面對稱的逆，還是原來的平移。將平移按長度分類，就得到一個等價類。平移群是各種長度的平移的並集。
• 設A={1,2,3},f₁,f₂,…,f₆是A上的雙射函式。其中

f₁={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f₂={<1,2>,<2,1>,<3,3>}
f₃={<1,3>,<2,2>,<3,1>}, 　f₄={<1,1>,<2,3>,<3,2>}
f₅={<1,2>,<2,3>,<3,1>}, 　f₆={<1,3>,<2,1>,<3,2>}
令G={f₁,f₂,…,f₆},則G關於函式的複合運算構成群。G的全體子群是：
H₁={f₁}, H₂={f₁,f₂}, 　H₃={f₁,f₃}
H₄={f₁,f₄}, H₅={f₁,f₅,f₆}, H₆=G
不難驗證,H₁,H₅和H₆是G的正規子群,而H₂,H₃和H₄不是正規子群。

性質及相關概念

滿同態保持正規子群的性質，逆映射也是一樣。

直積保持正規子群的性質。

G的正規子群的正規子群不一定是G的正規子群，即是說正規子群沒有傳遞性。但是，G的正規子群的特徵子群總是G的正規子群。

G的所有2階的子群都是正規子群。G中每個階為n的子群都包含一個G的正規子群K，它對G的階整除n! 。特別地，當p是|G|的最小質因數時，G的所有p階的子群都是正規子群。

群同態基本定理

任何群同態σ：G→G' 的核Ker σ 都是G的正規子群。

（群同態基本定理） 商群G/Ker σ≌Im σ.

利用群同態的核構造正規子群是一種常用方法。

單群

單群就是指不含非平凡正規子群的群。伽羅華(Galois)證明了交錯群 是單群（伽羅華理論）。這一結論和5次以上一元多項式方程是否根式可解密切相關。

群

一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

子群

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H_i|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有H_i的交H_i是G的一個子群。