基本介紹
- 中文名：正六面體
- 外文名：cube
- 別稱：立方體、正方體
- 學科：數學
- 屬性：屬於六面體、是特殊的長方體
- 特徵：6個面形狀相同，每條棱長度相等
特徵,表面積和體積,表面積,體積,相關概念,體對角線,單位體積,球半徑,平面截正方體,展開圖,優美定值,
特徵
正六面體具有如下特徵：
（1）正六面體有8個頂點，每個頂點連線三條棱。
（2）正六面體有12條棱，每條棱長度相等。
（3）正六面體有6個面，每個面面積相等，形狀完全相同。
（4）正六面體的體對角線：
，其中，a為棱長。
表面積和體積
表面積
因為正六面體6個面全部相等，且均為正方形，所以正六面體的表面積
，其中，a為正六面體的棱長，S為正六面體的表面積。
體積
正方體屬於稜柱的一種，稜柱的體積公式同樣適用，即體積=底面積×高。由於正六面體6個面全部相等，且均為正方形，所以，正六面體的體積=棱長×棱長×棱長。
設一個正方體的棱長為a，則它的體積：
。
相關概念
體對角線
例如，如圖1所示，設正立方體ABCD-
的棱長為a，
圖1
圖1（1）先取上底面的面對角線（如圖1中的線段AC），計算得到，AB的長度=
；
（2）這條面對角線AC和它相交的棱，就是垂直於上底面的棱
，又可以組成一個直角三角形，而這個直角三角形的斜邊
就是體對角線，根據勾股定理，可以得到，正六面體的體對角線的長度=
。
單位體積
（1）棱長是1厘米的正六面體，體積是1立方厘米；
（2）棱長是1分米的正六面體，體積是1立方分米；
（3）棱長是1米的正六面體，體積是1立方米。
球半徑
（1）外接球半徑：外接球的半徑R=正方體體對角線的一半；
（2）內切球半徑：內切球的半徑r=正方體邊長的一半。
平面截正方體
用一個平面截正方體，可得到以下三角形、矩形、正方形、五邊形、正五邊形、六邊形、正六邊形、菱形、梯形，具體截法如下：
（1）三角形：過一個頂點與相對的面的對角線以內的範圍內的線；
（2）矩形：過兩條相對的棱或一條棱；
（3）正方形：平行於一個面；
（4）五邊形：過四條棱上的點和一個頂點或五條棱上的點；
（5）六邊形：過六條棱上的點；
（6）正六邊形：過六條棱的中點；
（7）菱形：過相對頂點；
（8）梯形：過相對兩個面上平行不等長的線。
展開圖
正六面體的展開圖如下：
（1）1，4，1型：
（2）2，3，1型：
（3）2，2，2型：
（4）3，3型：
優美定值
定理1
定理1：若正方形邊長為a，以其中心為圓心的圓半徑為r，則該圓上任意一點與該正方形各頂點連線段長度的平方和及四次方和均是定值。
（1）推論1.1：若正方形ABCD的邊長為a，P是其外接圓上任意一點，則：
為定值。
（2）推論1.2：若正方形ABCD的邊長為a，P是其內切圓上任意一點，則：
（3）推論1.3：若正n邊形(n=2k)邊長為a，以該正n邊形中心為圓心的圓半徑為r，則該圓上任意一點與該正n邊形各頂點連線段長度的平方和為：
（定值）。
（4）推論1.4：若正n邊形((n=4k)對角線長為m，以該正n邊形中心為圓心的圓半徑為r，則該圓上任意一點與該正n邊形各頂點連線段長度的四次方和為定值：
定理2
定理2：若正方體的棱長為a，以其中心為球心的球的半徑為R，則該球上任意一點與該正方體各頂點連線段長度的平方和為：
(定值），四次方和為：
（定值）。
（1）推論2.1：若正方體的棱長為a，則其外接球上任意一點與該正方體各頂點連線段長度的平方和為
，四次方和為
。
（2）推論2.2：若正方體的棱長為a，則其內切球上任意一點與該正方體各頂點連線段長度的平方和為
，四次方和為
。
