兩個n階拉丁方在同一位置上的數依次配置成對時，如果這兩個有序數對恰好各不相同（一般處理方法為把當中某些行或列對調）（這種相同即經過有限次旋轉和鏡像對稱後不重合）。下面是兩個互為正交的4階拉丁方。
基本介紹
- 中文名：正交拉丁方
- 外文名：orthogonal Latin squares
- 套用領域：正交實驗設計
- 優點：提高實驗的準確度
- 學科：數理科學
類型,套用,相關定理,
類型
1、4階拉丁方
下面是兩個互為正交的4階拉丁方
(4.1)(3.3)(2.4)(1.2)
(2.2)(1.4)(4.3)(3.1)
(1.3)(2.1)(3.2)(4.4)
(3.4)(4.2)(1.1)(2.3)
6階的正交拉丁方源自於歐拉提出的三十六軍官問題.
2、拉丁方、正交拉丁方與正交拉丁方組
定義 1 ：（拉丁方）
A 為 n 乘 n 矩陣，若 A 的每行,每列都恰好是 (1, 2, ..., n) 的一個置換，則稱 A 是 n 階拉丁方。
定義 2 ：（正交拉丁方）
設
，
是兩個 n×n 的拉丁方.若矩陣
中的
個數偶
互不相同，i,j=1,2,…,n，則稱
和
正交，或稱 和 是互相正交的拉丁方。
定義 3 ：（正交拉丁方組）
{A_1, ..., A_k} 是 k 個 n 階拉丁方，若它們兩兩正交，則稱它們是一個正交拉丁方組。
任意的正整數 n 都存在 n 階拉丁方，但不是存在任意階數的正交拉丁方。1782 年，歐拉提出了一個著名的歐拉猜想——不存在 n=4k+2 階的正交拉丁方，直到 1900 年法國的塔利證明了歐拉猜想 n=6是正確的，到1960 年印度數學家玻色等證明了對於 2 和 6 以外的其他 4k+2 型數歐拉猜想都不正確。
套用
拉丁方的套用起始於 20 世紀早期，它首先被人們作為平衡非完整塊設計套用在統計分析中，拉丁方在實際套用中非常廣泛。其中一個很重要的套用是合理安排實驗。例如，1,2,3,4 這 4 種品牌的汽車輪胎磨損測試，若動用編號為 A,B,C,D 的 4 輛小汽車參加試驗，由於同一牌子的輪胎在不同部位，不同車的磨損程度有差別，為了使試驗次數少且均衡，可以安排如圖1。
如果同時要考慮 4 種不同牌子的剎車車閘對車胎的磨損，則還要求 4 種車閘在 4 輛車及 4 個不同位置各出現一次。當然還要求不同牌子的輪胎和車閘恰好配合一次。車閘的實驗安排如圖2。
圖1
圖1上述兩個矩陣為正交的拉丁方，則車輪與車閘的配合試驗可安排如圖3。
拉丁方在無線通信仿真設計中也有著很重要的作用。在無線通信系統設計中,仿真鏈路可變的參數種類繁多，而每種參數又可以取多個水平值，因此一個完備的遍歷考察有巨大數目的狀態空間，仿真評估往往成為不可能完成的任務。利用正交拉丁方均勻搭配不同參數和各種取值，組成特定的考核狀態空間，使得工作量呈幾何級數下降，僅用較少的實驗次數就能夠達到
近似於全遍歷狀態空間的效果。
圖2
圖2
圖3相關定理
1. 定理: 若 A=(a_{i,j}), B 是正交n 階拉丁方. f 是 {1, 2, ..., n} 到自身的一個置換。設 C={c_{i,j}}使得:c_{i,j}=f(a_{i,j}),
則 C, 仍是拉丁方,且 C, B 是正交拉丁方. 我們把 C 記為 f(A).
2. 設 S 是 n 階正交拉丁方組, 則 |S|< n.6. 定義：(飽和正交拉丁方組)
設 S 是 n 階正交拉丁方組,若 |S|=n-1，則稱 S 是飽和的。
3. 定理: 若 n 是素數方冪，則存在飽和的 n 階正交拉丁方組。
4. 定理: 設 {A_1,..., A_k} 是一個 n 階正交拉丁方組，而 {B_1,..., B_k} 是一個 m 階正交拉丁方組。則在此基礎上，可以構造出 m
n 階正交拉丁方組 {C_1,..., C_k}.
5. 設 n 有典範分解
p_1^{a_1} ... p_s^{a_s},
而 r = min {p_j^{a_j} : j=1..s}, 則存在 r 個正交的 n 階拉丁方。
