超希臘-拉丁方，即拉丁方陣（英語：Latin square），是一種 n × n 的方陣，在這種 n × n 的方陣里，恰有 n 種不同的元素，每一種不同的元素在同一行或同一列里只出現一次。
基本介紹
- 中文名：超希臘-拉丁方
- 外文名：Latin square
簡介,拉丁方陣的標準型,同型類別,正交拉丁方,定理,套用,參見,
簡介
超希臘-拉丁方，即拉丁方陣（英語：Latin square），是一種 n × n 的方陣，在這種 n × n 的方陣里，恰有 n 種不同的元素，每一種不同的元素在同一行或同一列里只出現一次。
以下是兩個拉丁方陣舉例：
拉丁方陣的標準型
當一個拉丁方陣的第一行與第一列的元素按順序排列時，此為這個拉丁方陣的標準型，英語稱為"reduced Latin square, normalized Latin square, 或Latin square in standard form"。
同型類別
許多對於拉丁方陣的運算都會產生新的拉丁方陣。例如說，交換拉丁方陣里的行、交換拉丁方陣里的列、或是交換拉丁方陣里的元素的符號，都會得到一個新的拉丁方陣。交換拉丁方陣里的行、交換拉丁方陣里的列、或是交換拉丁方陣里的元素的符號所得的新的拉丁方陣與原來的拉丁方陣稱為同型(isotopic)。同型(isotopism)是一個等價關係，因此所有的拉丁方陣所成的集合可以分成同型類別(isotopic class)的子集合，同型的拉丁方陣屬於同一個同型類別，而不屬於同一個同型類別的拉丁方陣則不同型。
正交拉丁方
定理
若n階拉丁方存在r個兩兩正交的拉丁方，那么
。
套用
當該定理中的等號成立時，則該階正交拉丁方族被稱為完全的。 可以分析得到，當n為1時，只存在一個拉丁方，當n為2時，不存在正交拉丁方族。 此外，當n為6時，也不存在正交拉丁方族，這個結論是通過對三十六軍官問題的嘗試得到的。 三十六軍官問題指的是是否有一個解決方案使得來自6個不同地區的6個不同軍銜的軍官排成6*6的方陣，其中每一行每一列的軍官都來自於不同的地區且具有不同的軍銜。 而該問題的方案即為6階正交拉丁方的個數，該問題於1901年被Gaston Tarry證明為無解。 除了上述三種情況外，當階數小於等於8時，均存在有n-1個正交的拉丁方。
如當n=3時，存在兩個正交的拉丁方。
參見
- 吠陀方形
