槓桿定理

古希臘科學家阿基米德有這樣一句流傳千古的名言：“假如給我一個支點，我就能把地球挪動！”這句話有著嚴格的科學根據.

運用幾何學通過嚴密的邏輯論證，得出了槓桿原理，這些公理是：（1）在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上相等的重量，它們將平衡；

（2）在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上不相等的重量，重的一端將下傾；

（3）在無重量的桿的兩端離支點不相等距離處掛上相等重量，距離遠的一端將下傾；

（4）一個重物的作用可以用幾個均勻分布的重物的作用來代替，只要重心的位置保持不變。相反，幾個均勻分布的重物可以用一個懸掛在它們的重心處的重物來代替

（5）相似圖形的重心以相似的方式分布。

基本介紹

• 中文名：槓桿定理
• 表達式：F1· L1=F2·L2
• 提出者：阿基米德
• 套用學科：物理
• 適用領域範圍：幾何，數學，物理

原理簡介

槓桿原理亦稱“槓桿平衡條件”。要使槓桿平衡，作用在槓桿上的兩個力（動力點、支點和阻力點）的大小跟它們的力臂成反比。動力×動力臂=阻力×阻力臂，用代數式表示為F1· L1=F2·L2。式中，F1表示動力，L1表示動力臂，F2表示阻力，L2表示阻力臂。從上式可看出，欲使槓桿達到平衡，動力臂是阻力臂的幾倍，動力就是阻力的幾分之一。

古希臘科學家阿基米德有這樣一句流傳千古的名言：“假如給我一個支點，我就能把地球挪動！”這句話有著嚴格的科學根據.

阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中最早提出了槓桿原理。他首先把槓桿實際套用中的一些經驗知識當作“不證自明的公理”，然後從這些公理出發，運用幾何學通過嚴密的邏輯論證，得出了槓桿原理。這些公理是：（1）在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上相等的重量，它們將平衡；（2）在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上不相等的重量，重的一端將下傾；（3）在無重量的桿的兩端離支點不相等距離處掛上相等重量，距離遠的一端將下傾；（4）一個重物的作用可以用幾個均勻分布的重物的作用來代替，只要重心的位置保持不變。相反，幾個均勻分布的重物可以用一個懸掛在它們的重心處的重物來代替（5）相似圖形的重心以相似的方式分布……

正是從這些公理出發，在“重心”理論的基礎上，阿基米德發現了槓桿原理，即“二重物平衡時，它們離支點的距離與重量成反比。阿基米德對槓桿的研究不僅僅停留在理論方面，而且據此原理還進行了一系列的發明創造。據說，他曾經藉助槓桿和滑輪組，使停放在沙灘上的桅般順利下水，在保衛敘拉古免受羅馬海軍襲擊的戰鬥中，阿基米德利用槓桿原理製造了遠、近距離的投石器，利用它射出各種飛彈和巨石攻擊敵人，曾把羅馬人阻於敘拉古城外達3年之久。

概念分析

在使用槓桿時，為了省力，就應該用動力臂比阻力臂長的槓桿；如欲省距離，就應該用動力臂比阻力臂短的槓桿。因此使用槓桿可以省力，也可以省距離。但是，要想省力，就必須多移動距離；要想少移動距離，就必須多費些力。要想又省力而又少移動距離，是不可能實現的。正是從這些公理出發，在“重心”理論的基礎上，阿基米德發現了槓桿原理，即“二重物平衡時，它們離支點的距離與重量成反比。

槓桿的支點不一定要在中間，滿足下列三個點的系統，基本上就是槓桿：支點、施力點、受力點。

其中公式這樣寫：支點到受力點距離(力矩) * 受力 = 支點到施力點距離(力臂) * 施力，這樣就是一個槓桿。

槓桿也有省力槓桿跟費力的槓桿，兩者皆有但是功能表現不同。例如有一種用腳踩的打氣機，或是用手壓的榨汁機，就是省力槓桿 (力臂 > 力矩)；但是我們要壓下較大的距離，受力端只有較小的動作。另外有一種費力的槓桿。例如路邊的吊車，釣東西的鉤子在整個桿的尖端，尾端是支點、中間是油壓機 (力矩 > 力臂)，這就是費力的槓桿，但費力換來的就是中間的施力點只要動小距離，尖端的掛勾就會移動相當大的距離。

兩種槓桿都有用處，只是要用的地方要去評估是要省力或是省下動作範圍。另外有種東西叫做輪軸，也可以當作是一種槓桿的套用，不過表現尚可能有時要加上轉動的計算。

古希臘科學家阿基米德有這樣一句流傳千古的名言："假如給我一個支點，我就能把地球挪動!"這句話不僅是催人奮進的警句，更是有著嚴格的科學根據的。

槓桿分類

槓桿可分為省力槓桿、費力槓桿和等臂槓桿。這幾類槓桿有如下特徵：

1.省力槓桿：L1>L2, F1<F2 ,省力、費距離。如拔釘子用的羊角錘、鍘刀，瓶蓋扳子等。

2．費力槓桿： L1F2,費力、省距離，如釣魚竿、鑷子等。

3．等臂槓桿： L1=L2, F1=F2,既不省力也不費力，又不多移動距離，如天平、定滑輪等。

人體內的槓桿

幾乎每一台機器中都少不了槓桿，就是在人體中也有許許多多的槓桿在起作用。拿起一件東西，彎一下腰，甚至翹一下腳尖都是人體的槓桿在起作用，了解了人體的槓桿不僅可以增長物理知識，還能學會許多生理知識。

其中，大部分為費力槓桿，也有小部分是等臂和省力槓桿。

點一下頭或抬一下頭是靠槓桿的作用(見圖)，槓桿的支點在脊柱之頂，支點前後各有肌肉，頭顱的重量是阻力。支點前後的肌肉配合起來，有的收縮有的拉長配合起來形成低頭仰頭，從圖裡可以看出來低頭比仰頭要省力。

當曲肘把重物舉起來的時候，手臂也是一個槓桿(如圖)。肘關節是支點，支點左右都有肌肉。這是一種費力槓桿，舉起一份的重量，肌肉要化費6倍以上的力氣，雖然費力，但是可以省一定距離。

當你把腳尖翹起來的時候，是腳跟後面的肌肉在起作用，腳尖是支點，體重落在兩者之間。這是一個省力槓桿(如圖)，肌肉的拉力比體重要小。而且腳越長越省力。

如果你彎一下腰，肌肉就要付出接近1200牛頓的拉力。這是 由於在腰部肌肉和脊骨之間形成的槓桿也是一個費力槓桿（如圖)。 所以在彎腰提起立物時，正確的姿式是儘量使重物離身體近一 些。以避免肌肉被拉傷。

發現歷程

阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中最早提出了槓桿原理。他首先把槓桿實際套用中的一些經驗知識當作"不證自明的公理"，然後從這些公理出發，運用幾何學通過嚴密的邏輯論證，得出了槓桿原理。這些公理是：(1)在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上相等的重量，它們將平衡；(2)在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上不相等的重量，重的一端將下傾；(3)在無重量的桿的兩端離支點不相等距離處掛上相等重量，距離遠的一端將下傾；(4)一個重物的作用可以用幾個均勻分布的重物的作用來代替，只要重心的位置保持不變。相反，幾個均勻分布的重物可以用一個懸掛在它們的重心處的重物來代替；似圖形的重心以相似的方式分布……正是從這些公理出發，在"重心"理論的基礎上，阿基米德又發現了槓桿原理，即"二重物平衡時，它們離支點的距離與重量成反比。"

阿基米德對槓桿的研究不僅僅停留在理論方面，而且據此原理還進了一系列的發明創造。據說，他曾經藉助槓桿和滑輪組，使停放在沙灘上的桅船順利下水。在保衛敘拉古免受羅馬海軍襲擊的戰鬥中，阿基米德利用槓桿原理製造了遠、近距離的投石器，利用它射出各種飛彈和巨石攻擊敵人，曾把羅馬人阻於敘拉古城外達3年之久。

這裡還要順便提及的是，在我國歷史上也早有關於槓桿的記載。戰國時代的墨家曾經總結過這方面的規律，在《墨經》中就有兩條專門記載槓桿原理的。這兩條對槓桿的平衡說得很全面。裡面有等臂的，有不等臂的；有改變兩端重量使它偏動的，也有改變兩臂長度使它偏動的。這樣的記載，在世界物理學史上也是非常有價值的，而且墨子的發現比阿基米德早了約二百年。

歷史故事

阿基米德將自己鎖在一間小屋裡, 正夜以繼日地埋頭寫作《浮體論》．這天突然闖進一個人來, 一進門就連忙喊道: `哎呀! 你老先生原來躲在這裡．國王正調動大批人馬, 在全城四處找你呢．'阿基米德認出他是朝廷大臣, 心想, 外面一定出了大事．他立即收拾起羊皮書稿, 伸手抓過一頂圓殼小帽, 隨大臣一同出去, 直奔王宮．

當他們來到宮殿前階下時, 就看見各種馬車停了一片, 衛兵們銀槍鐵盔, 站立兩行, 殿內文武滿座, 鴉雀無聲．國王正焦急地在地毯上來回踱步．由於殿內陰暗, 天還沒黑就燃起了高高的燭台．燈下長條案上擺著海防圖、陸防圖．阿基米德看著這一切, 就知道他最擔心的戰爭終於爆發了．

原來地中海沿岸在古希臘衰落之後, 先是馬其頓王朝的興起, 馬其頓王朝衰落後, 接著是羅馬王朝興起．羅馬人統一了義大利本土後向西擴張, 遇到另一強國迦太基．公元前264 年到公元前221 年兩國打了23 年仗, 這是歷史上有名的`第一次布匿戰爭', 羅馬人取得勝利．公元前218 年開始又打了4 年, 這是`第二次布匿戰爭', 這次迦太基起用一個奴隸出身的軍事家漢尼拔, 一舉擒獲羅馬人5 萬餘眾．地中海沿岸的兩個強國就這樣連年爭戰, 雙方均有勝負．敘拉古, 則是個夾在迦、羅兩個強國中的城邦小國, 在這種長期的戰爭風雲中, 常常隨著兩個強國的勝負而棄弱附強, 飄忽不定．阿基米德對這種外交策略很不放心, 曾多次告誡國王, 不要惹禍上身．可是現在的國王已不是那個阿基米德的好友亥尼洛．他年少無知, 卻又剛愎自用．當`第二次布匿戰爭'爆發後, 公元前216 年, 眼看迦太基人將要打敗羅馬人, 國王很快就和羅馬人決裂了, 與迦太基人結成了同盟, 羅馬人對此舉很惱火．現在羅馬人又打了勝仗, 於是採取了報復的行動, 從海陸兩路向這個城邦小國攻過來, 國王嚇得沒了主意．當他看到阿基米德從外面進來, 連忙迎上前去, 恨不得立即向他下跪, 說道: `啊, 親愛的阿基米德, 你是一個最聰明的人, 先王在世時說過你都能推動地球．'

關於阿基米德推動地球的說法, 卻還是他在亞歷山大里亞留學時候的事．當時他從埃及農民提水用的吊桿和奴隸們撬石頭用的撬棍受到啟發, 發現可以藉助一種槓桿來達到省力的目的, 而且發現, 手握的地方到支點的這一段距離越長, 就越省力氣．由此他提出了這樣一個定理: 力臂和力 (重量) 的關係成反比例．這就是槓桿原理．用我們現在的表達方式表述就是: 重量×重臂=力×力臂．為此, 他曾給當時的國王亥尼洛寫信說: `我不費吹灰之力, 就可以隨便移動任何重量的東西；只要給我一個支點, 給我一根足夠長的槓桿, 我連地球都可以推動．'可現在這個小國王並不懂得什麼叫科學, 他只知道在大難臨頭的時候, 藉助阿基米德的神力來救他的駕．

可是羅馬軍隊實在太厲害了．他們作戰時列成方隊, 前面和兩側的士兵將盾牌護著身子, 中間的士兵將盾牌舉在頭上, 戰鼓一響這一個個方隊就如同現代的坦克一樣, 向敵方陣營步步推進, 任你亂箭射來也絲毫無損．羅馬軍隊還有特別嚴明的軍紀, 發現臨陣脫逃的立即處死, 士兵立功晉級, 統帥獲勝返回羅馬時要舉行隆重的凱旋儀式．這支軍隊稱霸地中海, 所向無敵, 一個小小的敘拉古哪裡放在眼裡．況且舊恨新仇, 早想進行一次徹底清算．這時由羅馬執政官馬賽拉斯統帥的四個陸軍軍團已經挺進到了敘拉古城的西北．現在城外已是鼓聲齊鳴, 殺聲震天了．在這危急的關頭, 阿基米德雖然對因國王目光短淺造成的這場禍災非常不滿, 但木已成舟, 國家為重, 他掃了一眼沉悶的大殿, 捻著銀白的鬍鬚說: `如果單靠軍事實力, 我們決不是羅馬人的對手．現在若能造出一種新式武器來, 或許還可守住城池, 以待援兵．'國王一聽這話, 立即轉憂為喜說: `先王在世時早就說過, 凡是你說的, 大家都要相信．這場守衛戰就由你全權指揮吧．'

兩天以後, 天剛拂曉, 羅馬統帥馬賽拉斯指揮著他那嚴密整齊的方陣向護城河攻來．今天方陣兩邊還預備了鐵甲騎兵, 方陣內強壯的士兵肩扛著雲梯．馬賽拉斯在出發前曾口出狂言: `攻破敘拉古, 到城裡吃午飯去．'在喊殺聲中, 方陣慢慢向前蠕動．照常規, 城頭上早該放箭了．可今天城牆上卻是靜悄悄地不見一人．也許是幾天來的惡戰使敘拉古人筋疲力盡了吧．羅馬人正在疑惑, 城裡隱約傳來吱吱呀呀的響聲, 接著城頭上就飛出大大小小的石塊, 開始時大小如碗如拳一般, 以後越來越大, 簡直有如鍋盆, 山洪般地傾瀉下來．石頭落在敵人陣中, 士兵們連忙舉盾護體, 誰知石頭又重, 速度又急, 一下子連盾帶人都砸成一團肉泥．羅馬人漸漸支持不住了, 連滾帶爬地逃命．這時敘拉古的城頭又射出了密集的利箭, 羅馬人的背後無盾牌和鐵甲抵擋, 那利箭直穿背股, 哭天喊地, 好不悽慘．

阿基米德到底造出了什麼秘密武器讓羅馬人大敗而歸呢? 原來他製造了一些特大的弩弓——發石機．這么大的弓, 人是根本拉不動的, 他就利用了槓桿原理．只要將弩上轉軸的搖柄用力扳動, 那與搖柄相連的牛筋又拉緊許多根牛筋組成的粗弓弦, 拉到最緊時, 再突然一放, 弓弦就帶動載石裝置, 把石頭高高地拋出城外, 可落在1000 多米遠的地方．原來這槓桿原理並不是簡單使用一根直棍撬東西．比如水井上的轆轤吧, 它的支點是轆轤的軸心, 重臂是轆轤的半徑, 它的力臂是搖柄, 搖柄一定要比轆轤的半徑長, 打起水來就很省力．阿基米德的發石機也是運用這個原理．羅馬人哪裡知道敘拉古城有這許多新玩藝兒．

就在馬賽拉斯剛被打敗不久, 海軍統帥古勞狄烏斯也派人送來了戰報．原來, 當陸軍從西北攻城時, 羅馬海軍從東南海面上也發動了攻勢．羅馬海軍原來並不十分厲害, 後來發明了一種舷鉤裝在船上, 遇到敵艦時鉤住對方, 士兵們再躍上敵艦, 變海戰為陸戰, 占一定的優勢．今天克勞狄烏斯為了對付敘拉古還特意將兵艦包上了一層鐵甲, 準備了雲梯, 並號令士兵, 只許前進, 不許後退．奇怪的是, 這天敘拉古的城頭卻分外安靜, 牆的後面看不到一卒一兵, 只是遠遠望見幾副木頭架子立在城頭．當羅馬戰船開到城下, 士兵們拿著雲梯正要往牆上搭的時候, 突然那些木架上垂下來一條條鐵鏈, 鏈頭上有鐵鉤、鐵爪, 鉤住了羅馬海軍的戰船．任水兵們怎樣使勁划槳都徒勞無功, 那戰船再也不能挪動半步．他們用刀砍, 用火燒, 大鐵鏈分毫無損．正當船上一片驚慌時．只見大木架上的木輪又`嘎嘎'地轉動起來, 接著鐵鏈越拉越緊, 船漸漸地被吊起離開了水面．隨著船身的傾斜, 士兵們紛紛掉進了海里, 桅桿也被折斷了．船身被吊到半空後, 這個大木架還會左右轉動, 於是那一艘艘戰艦就像盪鞦韆一樣在空中搖盪, 然後有的被摔到城牆上或礁石上, 成了堆碎片；有的被吊過城牆, 成了敘拉古人的戰利品．這時敘拉古的城頭上還是靜悄悄的, 沒有人射箭, 也沒有人吶喊, 好像是座空城, 只有那幾副怪物似的木架, 不時伸下一個個大鉤鉤走一艘艘戰船．羅馬人看著這`嘎嘎'作響的怪物, 嚇得全身哆嗦, 手腿發軟, 只聽到海面上一片哭喊聲和落水碰石後的呼救聲．克勞狄烏斯在戰報中說: `我們根本著不見敵人, 就像在和一隻木桶打仗．'阿基米德的這些`怪物'原來也是利用了槓桿原理, 並加了滑輪．

經過這場大戰, 羅馬人損兵折將, 還白白丟了許多武器和戰船, 可是卻連阿基米德的面都沒見到．

實例演示

槓桿原理基本有3種類型，第一類的槓桿例子是天平、剪刀、鉗子等，第二類槓桿的例子是開瓶器、胡桃夾，第三類槓桿如錘子、鑷子等。

槓桿分為3種槓桿。第一種是省力的槓桿，如：開瓶器等。第二種是費力的槓桿，如：鑷子等。第三種是既不省力也不費力的槓桿，如：天平、釣魚竿等。

關於——

阿基米德能舉起地球嗎？

“給我一個支點，我就能舉起地球”，相傳這是古代發現槓桿原理的阿基米德說的話。

阿基米德知道，如果利用槓桿，就能用一個最小的力，把無論怎樣重的東西舉起來，只要把這個力放在槓桿的長臂上，而讓短臂對重物起作用。因此，他的手就可以舉起質量等於地球的重物。

然而如果這個古代偉大科學家知道地球的質量是多么大，他也許就不會這樣誇口了。讓我們構想阿基米德真的找到了另一個地球做支點；再構想他也做成了一根夠長的槓桿。你知道他得用多少時間才能把質量等於地球的一個重物舉起，哪怕只舉起1cm呢？至少要30萬億年！

原來地球的質量天文學家是知道的。質量這樣大的物體，如果把它拿到地球上稱的話，它的重量大約是：6 000 000 000 000 000 000 000t。

如果一個人只能直接舉起60kg的重物，那么他要“舉起地球”，就得把自己的手放在一根這樣長的槓桿上，他的長臂應當等於它的短臂的100 000 000 000 000 000 000倍！

簡單地計算一下就可以知道，在短臂的那一頭舉高1cm，就得把長臂那一頭在宇宙空間裡畫一個大弧形，弧的長度大約是：1 000 000 000 000 000 000km。

這就是說，阿基米德如果要把地球舉起1cm，他那扶著槓桿的手就得移動大到這樣不可想像的一個距離！那么他要用多少時間才能做完這件事呢？如果我們認為阿基米德能在一秒種里把60kg的重物舉高一米(這種工作能力已經幾乎等於一馬力！)，那么，他要把地球舉起1cm，就得用去100 000 000 000 000 000 000S，或三十萬億年！可見阿基米德無法完成這個任務。

以上是理論基礎，實際上人類對太空的了解（失重現象）根本無法完成撬動地球。

槓桿論文

一根長為4米的一頭粗一頭細的木棒，在距粗端1米處支住它可以平衡；如果在距粗端2 米處支住，且在另一端掛20N的重物，槓桿仍可平衡，那么這根棒重為多少？

在距粗端1米處支住它可以平衡說明了他的重心在距粗端1米處.

如果在距粗端2 米處支住，且在另一端掛20N的重物，槓桿仍可平衡，F1*L1=F2*L2得:

G*1m=20N*2m

解得：G=40N

所以，這根棒重為40N。