柱面坐標變換

柱面坐標變換是指歐氏空間中一點在柱面坐標系與標準歐氏坐標系之間的變換關係。

柱面坐標系

定義. 設P是中一點，在柱面坐標系中P的三個坐標變數是，其定義為

• 徑向距離ρ是從z軸到點P的歐幾里得距離。
  
• 方位角φ是所選平面上參照方向和從原點到平面上的P投影之間的直線之間的夾角。
  
• 高度z是從所選平面到點P的有符號距離。
  

見圖1。

圖1

與極坐標類似, 柱坐標相同的同一點具有無限多個等效坐標, 即和，其中是任意整數。此外, 如果半徑為零，則方位角規定是任意的。

在某些情況下，需要為每個點設定唯一的坐標的情況下，可以將半徑限制為非負(ρ≥ 0) 和方位φ ，使其位於特定的間隔跨度,，如(−180°、+ 180 °) 或 [0,360°]

柱面坐標變換

柱面坐標系是三大常用的坐標系之一，其它二個常用的坐標系是標準的歐氏坐標系、球坐標系。柱面坐標變換公式描述了空間中一點P在柱面坐標系下的坐標與歐氏坐標系下的坐標之間的變換關係。該變換關係如下述公式給出：

或者，將表達成的形式：

體積元

在許多套用中，柱面坐標系具有其它坐標系不具有的優點。了解在柱面坐標系的面積元，體積元是對我們有幫助的。

長度元：

面積元：

體積元：

梯度、散度、旋度以及Laplace運算元在柱面坐標系下的由下述公式給出：