雙極圓柱坐標系

雙極圓柱坐標系（英語：Bipolar cylindrical coordinates）是一種三維正交坐標系。

基本介紹

• 中文名：雙極圓柱坐標系
• 外文名：Bipolar cylindrical coordinates
• 屬於：三維正交坐標系

簡介

雙極圓柱坐標系（英語：Bipolar cylindrical coordinates）是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系，則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 ，其直角坐標(x, y) 分別設定為 (-a, 0) 與(a,0)。延伸至三維空間，這兩個焦點分別變成兩條直線，稱為焦線。

基本定義

雙極圓柱坐標通常定義為

其中，點P的坐標等於的弧度， 坐標等於的比例的自然對數。

注意到焦線的坐標分別為x=-a 與x=a。

坐標曲面

不同的坐標曲面是一組不同圓心線，而相交於兩個焦線 的圓柱面：

它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值的圓柱面的圓心線都在y>0半空間；而負值的圓柱面的圓心線則在y<0半空間。當絕對值增加時，圓半徑會減小，圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時，達到最大值。

不同的坐標曲面是一組圍著焦線，互不相交，不同半徑的圓柱面。半徑為

它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 的圓柱面在x>0半空間；而負值的圓柱面在x<0半空間。=0 平面則與 yz-平面同平面。當值增加時，圓柱面的半徑會減少，圓心線會靠近焦點。

標度因子

雙極圓柱坐標的標度因子相等；而 z 的標度因子是 1 ：

所以，無窮小體積元素等於

拉普拉斯運算元是

其它微分運算元，例如 ，都可以用雙極圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

套用

雙極圓柱坐標有一個經典的套用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式里，雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱導體，請問其周圍的電場為什麼？套用雙極圓柱坐標，我們可以精緻地分析這例題。