柯西-施瓦茨不等式是一個在眾多背景下都有套用的不等式,例如線性代數,數學分析,機率論,向量代數以及其他許多領域。它被認為是數學中最重要的不等式之一。此不等式最初於1821年被柯西提出,其積分形式在1859被布尼亞克夫斯基提出,而積分形式的現代證明則由施瓦茲於1888年給出。
基本介紹
- 中文名:柯西-施瓦茨不等式
- 外文名:Cauchy-Buniakowsky-Schwarz
- 提出者:柯西
- 提出時間:1821年
- 推廣者:赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨
- 推廣者:維克托·布尼亞科夫斯基
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簡介
定理(柯西-施瓦茨不等式):若和是任意實數,則有≤()()此外,如果有某個,則上式中的等號若且唯若存在一個實數X使得對於每一個都有時成立。
證明
證明1
平方和絕不可能是負數,故對每一個實數X都有其中,等號若且唯若每一項都等於0時成立。
數學上,柯西—施瓦茨不等式,又稱施瓦茨不等式或柯西—布尼亞科夫斯基—施瓦茨不等式,是一條很多場合都用得上的不等式,例如線性代數的矢量,數學分析的無窮級數和乘積的積分,和機率論的方差和協方差。不等式以奧古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。
證明2
柯西—施瓦茨不等式說,若x和y是實或復內積空間的元素,那么
等式成立若且唯若x和y是線性相關。
證明3
柯西—施瓦茨不等式有另一形式,可以用范的寫法表示:
套用
實內積空間的情形
注意到y = 0時不等式顯然成立,所以可假設非零。對任意,可知
現在取值,代入後得到
因此有
復內積空間的情形
證明類上。對任意,可知
現在取值,代入後得到
因此有
特例
對歐幾里得空間,有
對平方可積的復值函式,有
這兩例可更一般化為赫爾德不等式。
在3維空間,有一個較強結果值得注意:原不等式可以增強至等式
利用柯西-比內公式還可得到廣義的柯西不等式如下:
令A,B為兩個m×n矩陣(m>n),則有:
det(A*AT)*det(B*BT)≥(det(A*BT))^2