朗道規範，即朗道量子化（Landau quantization），是指均勻磁場中帶電粒子的迴旋軌道發生的量子化。這些帶電粒子能量在一系列分立的數值中取值，形成朗道能級。朗道能級是簡併的，每一能級上電子的電子數量與外加磁場的強度成正比。由朗道量子化可以得出外磁場會導致材料中電子性質的振盪。這一理論是由蘇聯物理學家列夫·朗道於1930年提出的。
基本介紹
- 中文名：朗道規範
- 外文名：Landau quantization
- 別稱：朗道量子化
- 領域：量子力學
推導,朗道能級,討論,對稱規範中的朗道能級,規範變換的影響,參見,
推導
朗道量子化可以通過準經典的方法部分導出。這裡採用量子力學的方法進行推導：
考慮一個帶電粒子組成的二維系統。這些粒子無內部相互作用，所帶電荷為q，自旋量子數為S，並被限制在x-y平面內一個面積A=LxLy的區域內。
在這一規範下，系統的哈密頓算符為：
如果設定迴旋頻率ωc= qB/mc，那么可以得出此時哈密頓算符為：
這與量子諧振子的哈密頓算符基本一致，但勢能的最小值需要在位置表象中移動x0=ħky/mωc。
為了得出能量，我們假設對於諧振子勢能的平移並不會影響到系統的能量，也就是說這一系統的能量與標準的量子諧振子一致：
由於能量與量子數ky無關，因而會存在一定的簡併態。
由於
與哈密頓算符是對易的，因而系統的波函式可以表示為y方向上動量的本徵值與諧振子本徵矢
的乘積，但
也需要在x方向上移動x0，即：
總之，電子的狀態可以通過n與ky這兩個量子數表征。
朗道能級
朗道量子化所造成的效應只能在平均內能小於能級間差值，即kT ≪ ħωc時才能被觀測到。簡單來說就是溫度較低，外磁場較強。
每個朗道能級都具有一定的簡併度，因為量子數ky的取值情況為：
因而對於自旋為S的粒子，每個朗道能級的簡併度的最大值D為：
一般來說，朗道能級可以在電子系統中被觀察到，其中Z=1，S=1/2。隨著磁場增強，越來越多的電子會占據朗道能級。最高的朗道能級的占據情況會導致多種電子性質振盪，如德哈斯-范阿爾芬效應及舒布尼科夫-德哈斯效應。
如果考慮到塞曼效應的話，那么每個朗道能級都會分裂為一對能級：一個為自旋向上的電子占據的能級，一個是自旋向下的電子占據的能級。此時每個自旋朗道能級的簡併度就會是磁通量的比率：D=Φ/Φ0。兩個能級與分裂前的能級間隔是相同的：2μBB=ħω。然而在多個能級被占滿時，系統的費米能與基態的能量卻是大致相同的，因為塞曼效應造成的影響，在這些能級相加時會被抵消掉。
討論
在上面的推導過程中，x與y似乎並不對稱。然而，考慮到系統的對稱性，並沒有物理量能表征這兩個坐標的區別。在對x與y進行適當的內部變換後，可以得到相同的結果。
此外，上述推導中電子在z方向上運動受限的情形儘管在實驗中確實存在，如二維電子氣。但這一假設並不基本。如果電子在z方向上可以自由移動，那么波函式還需要乘以一個因子exp(ikzz)，能量對應地需要加上(ħ kz)/(2m)。這一項會“填入”能級間隙，從而減小量子化的效果。但在垂直於磁場的平面x-y上的運動仍是量子化的。
對稱規範中的朗道能級
選定對稱規範：
引入算符：
這些算符的對易關係為：
哈密頓算符可記為：
朗道能級序數n是
的本徵值。
角動量z方向上的分量為：
使用
可以使m減小一個單位同時使n保持不變，而
則可以使n增大一個單位，同時令m減小一個單位。類比量子諧振子，可以得到：
在朗道規範與對稱規範下，每個朗道能級上的簡併軌道分別以量子數ky及m表征，每個朗道能級上單位面積的簡併度是相同的。
