最小作用原理

在物理學里，最小作用原理，即最小作用量原理（英語：least action principle），或更精確地，平穩作用量原理（英語：stationary action principle），是一種變分原理，當套用於一個機械系統的作用量時，可以得到此機械系統的運動方程。這原理的研究引導出經典力學的拉格朗日表述和哈密頓表述的發展。卡爾·雅可比特稱最小作用量原理為分析力學之母[1]。

在現代物理學裡，這原理非常重要，在相對論、量子力學、量子場論里，都有廣泛的用途。在現代數學裡，這原理是莫爾斯理論的研究焦點。本篇文章主要是在闡述最小作用量原理的歷史發展。關於數學描述、推導和實用方法，請參閱條目作用量。最小作用量原理有很多種例子，主要的例子是莫佩爾蒂原理（Maupertuis' principle）和哈密頓原理。

在最小作用量原理之前，有很多類似的點子出現於測量學和光學。古埃及的拉繩測量者（rope stretcher）在測量兩點之間的距離時，會將固定於這兩點的繩索拉緊，這樣，可以使間隔距離減少至最低值[2]。托勒密在他的著作《地理學指南》（Geographia）第一冊第二章里強調，測量者必須對於直線路線的誤差做出適當的修正。古希臘數學家歐幾里得在《反射光學》（Catoptrica）里表明，將光線照射於鏡子，則光線的反射路徑的入射角等於反射角。稍後，亞歷山大的希羅證明這路徑的長度是最短的[3]。

基本介紹

• 中文名：最小作用原理
• 外文名：least action principle
• 類型：描述客觀事物規律的一種方法
• 套用：現代物理學

費馬的表述

1662年，皮埃爾·德·費馬提出費馬原理，又稱為“最短時間原理”：光線移動的路徑是需時最少的路徑。

費馬原理更正確的版本應是“平穩時間原理”。對於某些狀況，光線移動的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。例如，對於平面鏡，任意兩點的反射路徑光程是最小值；對於半橢圓形鏡子，其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值；對於半圓形鏡子，其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值；又如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。

假設，介質1、介質2的折射率分別為、，光線從介質1在點O移動進入介質2，則斯涅爾定律以方程表達為

其中，為入射角，為折射角。

從費馬原理，可以推導出斯涅爾定律。通過設定光程對於時間的導數為零，可以找到“平穩路徑”，這就是光線移動的路徑。光線在介質1與介質2的速度分別為

其中，是真空光速。

由於介質會減緩光線的速度，折射率和都大於。

圖1.光線從點Q傳播至點O

如右圖所示，從點Q到點P的移動時間為

根據費馬原理，光線移動的路徑是所需時間為極值的路徑，取移動時間對變數的導數，設定其為零：

由圖中的邊角關係，可以得到移動速度與折射角的關係式：

將移動速度與折射率的關係式代入，就會得到斯涅爾定律：

費馬原理引發了極大的爭議。假若介質的密度越小，光線的移動速度越快，則費馬原理是正確的；但是，艾薩克·牛頓和勒內·笛卡兒都認為介質的密度越大，光線的移動速度就越快。1802年，托馬斯·楊做實驗發現，當光波從較低密度介質移動進入較高密度介質之後，光波的波長會變短，他因此推論光波的運動速度會降低。

莫佩爾蒂的表述

最小作用量原理套用於作用量的最初始表述，時常歸功於皮埃爾·莫佩爾蒂。於1744年和1746年，他寫出一些關於這方面的論文。但是，史學專家指出，這優先聲明並不明確。萊昂哈德·歐拉在他的1744年論文裡就已談到這原理。還有一些考據顯示出，在1705年，戈特弗里德·萊布尼茨就已經發現這原理了。

莫佩爾蒂發表的最小作用量原理闡明，對於所有的自然現象，作用量趨向於最小值。他定義一個運動中的物體的作用量為，物體質量、移動速度與移動距離的乘積：

莫佩爾蒂又從宇宙論的觀點來論述，最小作用量好像是一種經濟原理。在經濟學里，大概就是精省資源的意思。這論述的瑕疵是，並沒有任何理由，能夠解釋，為什麼作用量趨向最小值，而不是最大值。假若，我們解釋最小作用量為大自然的精省資源，那么，我們又怎樣解釋最大作用量呢？

折射理論

於1744年，在巴黎科學院發表的一篇論文《幾種以前互不相容的自然定律的合一論》中，莫佩爾蒂提出，光折射的路徑，從一種介質到另一種介質，是作用量的最小值。按照這論點，如前圖，假設光線從折射率為的介質1折射於折射率為介質2，則作用量為

其中，是光線的質量。雖然光線並沒有質量，這變數對於結果沒有任何影響，可以被忽略。

取作用量對於變數{\displaystyle x}的導數，設定為零，經過一些運算，可以得到

請注意，這結果與牛頓的光粒子理論相符合；但是，與費馬得到的結果南轅北轍，大不相同。

非彈性碰撞

1747年，莫佩爾蒂在伯林科學院（Academy of Berlin）發表了論文《運動與靜止定律》。在這篇論文裡，他將碰撞分為兩種，彈性碰撞與非彈性碰撞。彈性碰撞遵守動量守恆和能量守恆；非彈性碰撞只遵守動量守恆。莫佩爾蒂可以將最小作用量原理套用於彈性碰撞與非彈性碰撞，正確地計算出碰撞後的物體的速度。

思考一個一維非彈性碰撞，假設兩個質量分別為和的物體O₁和物體O₂，分別以初始速度和朝著同一方向移動，而且，，物體O₁緊追著物體O₂。當兩物體發生非彈性碰撞後，結合成為物體O₃，以終結速度移動。從固定於物體O₃的參考系觀察，物體O₁和物體O₂的速度分別為和。所以，作用量為

其中，是時間。

取作用量對於變數的導數，設定為零，經過一些運算，可以得到

所以，最終速度為

請注意，按照這種設定參考系的方法，前面折射問題的光折射作用量應該是

還有，前面光折射作用量的距離參數是任意值，但是，非彈性碰撞作用量的碰撞前距離參數與碰撞後距離參數被設定為相等。

由於這些不一致之處，促使恩斯特·馬赫嚴厲批評，莫佩爾蒂的最小作用量原理只是一個模糊不清的概念，勉強地被用來解釋各種不同的物理現象。

參閱

• 變分法
• 活力 (物理)（vis viva）
• 高斯最小約束原理（Gauss' principle of least constraint）
• 赫茲最小曲率原理（Hertz's principle of least curvature）
• 雅可比原理（Jacobi's principle）