作用量

在物理學裡，作用量是一個很特別，很抽象的物理量。它表示著一個動力物理系統內在的演化趨向。雖然與微分方程方法大不相同，我們也可以用作用量來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。我們只需要設定系統在兩個點的狀態，初始狀態與最終狀態。然後，經過求解作用量的極值，我們可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。

基本介紹

• 中文名：作用量
• 外文名：action
• 費馬：1662年發表了費馬原理
• 原理闡明：光傳播所需的時間必定是極值
• 萊布尼茨：同意費馬的理論

歷史

費馬於1662年發表了費馬原理。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。

萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地說，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。假若，河道變窄，水的流速會增加；同樣地，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。

1744年，皮埃爾·路易·莫佩爾蒂在一篇論文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now, seemed incompatiable》中，發表了最小作用量原理：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明了費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是極值；他也計算出光在反射與同介質傳播時的正確路徑。1747年，莫佩爾蒂在另一篇論文《On the laws of motion and of rest》中，套用這原理於碰撞，正確地分析了彈性碰撞與非彈性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。

萊昂哈德·歐拉在同年發表了一篇論文《Method for finding curve shaving a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是作用量。套用這理論，歐拉成功的計算出，當粒子受到有心力作用時，正確的拋射體運動。

在此以後，許多物理學家，包括拉格朗日、哈密頓、理察·費曼、等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。

概念

微分方程時常被用來表述物理定律。微分方程指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。

作用量方法是一種全然不同的方法．它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變數在兩點的數值，稱為初始值與最終值。經過作用量極值的演算，我們可以得到，此變數在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程方法所得到的答案完全相同。

哈密頓原理闡明了這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統運動的微分方程，也可以用一個等價的積分方程來描述。無論是關於經典力學中的一個單獨粒子、關於經典場像電磁場或引力場，這描述都是正確的。更加地，哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。

用變分法數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的極值（通常是最小值）,可以得到這系統隨時間的演化（就是說，系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演化對於任何微擾必須是穩定的。這要求導致出描述正確演化的微分方程。

量綱為能量與時間乘積的物理量。動能T與時間微元dt的乘積Tdt是作用量。廣義動量與廣義坐標微元的乘積對系統的總和也是作用量。在原子物理學中，普朗克常數h的量綱是作用量的量綱。力學中有兩個關於作用量的原理，它們是最小作用量原理和哈密頓原理。