族正規空間

族正規空間(collectionwise normal space)是一類拓撲空間。設X為拓撲空間，若對於X的任意離散的閉集族{F_α}_α∈A，存在兩兩不相交的開集族{G_α}_α∈A，使得F_α⊂G_α對於任意α∈A成立，則稱X為族正規空間。族正規空間是正規空間，族正規性是閉遺傳的，全體正規空間是族正規的，仿緊空間是族正規的。族正規空間是賓(R.H.Bing)於1951年定義的，島克(C.H.Dowker)於1952年給出了族正規空間的一個等價條件。

基本介紹

• 中文名：族正規空間
• 外文名：collectionwise normal space
• 屬性：一類拓撲空間
• 所屬學科：數學（一般拓撲學）
• 相關概念：仿緊空間，全體正規空間等
• 提出者：賓(R.H.Bing)

定義

空間是族正規(collectionwise normal)的是指對於X的任意分散的閉集族，存在不相交的開集族，對各，使成立，由此定義直接看到族正規空間是正規的。

相關性質定理

命題1 全體正規空間X是族正規的。

定理2 (A.H. Stone)全體正規空間X的任意開覆蓋有局部有限的且分散開覆蓋加細，從而全體正規空間是仿緊的。

引理3若正則空間X的任意開覆蓋有局部有限開覆蓋加細，則X是族正規的。

引理4對於族正規空間的分散的閉集族，存在分散的開集族，對於各成立。

定理5(Michael-Nagami)族正規空間X的點有限開覆蓋可由局部有限開覆蓋細分。

定義6集合X的二子集族和，對於的任意有限集，當和同時成立時稱為類似，記作。

定理7對於正規空間X，下述性質等價。

(1) X是族正規的。

(2) 若為局部有限的閉集族，且其次數為有限的，則存在局部有限開集族

(3) 若A為X的閉集，分別為A的局部有限的閉及開覆蓋，使，則存在X的局部有限開集族，使。

(4) 若A為X的閉集，為A的局部有限開覆蓋，則存在X的局部有限開集族，使，且。

定理8正規空間X是族正規且可數仿緊的充要條件是對於X的局部有限的任意閉集族存在局部有限開集族，使，且。

族正規空間作為以Banach空間為擴張子的空間可賦與下面的特徵，即

定理9 (Dowker)X是族正規的充要條件是對於任意閉集A及Banach空間B，任意連續映射可擴張到X上。