斯溫森-王算法

斯溫森－王算法（英語：Swendsen–Wang algorithm）由物理學家羅伯特·斯溫森與王建生於1987年提出，是首個非局域的蒙特卡洛算法，用以解決臨界點附近效率變低的臨界慢化問題。

基本介紹

• 中文名：斯溫森-王算法
• 外文名：Swendsen–Wang algorithm

簡介

斯溫森－王算法最初用於易辛模型與玻茨模型，後來被推廣到其他模型之中。該算法的關鍵是按照Fortuin與Kasteleyn的理論將玻茨模型變換為逾滲（percolation）模型，相鄰自旋間按機率成鍵。之後再通過霍森－科佩爾曼算法標識聯鍵的集團（cluster），並將每個集團內的所有自旋賦以相同的隨機值。由於該算法可以一次改變整個集團的自旋，因而在臨界點附近能夠顯著提高效率，以解決臨界慢化問題。

2005年，加州大學洛杉磯分校教授朱松純與其博士生阿德里安·巴爾布（Adrian Barbu）推廣了斯溫森－王算法，將其看作是一個梅特羅波利斯－黑斯廷斯算法並計算了相應的接受機率，使其適用於任意後驗機率的採樣。

逾滲

所謂逾滲就是指在一元或多元體系中，體系以外的一種介質通過一定的路徑進入體系內的過程。它是一種廣泛存在的物理現象，既存在於微觀世界，又存在於客觀世界，如液體可以擴散及逾滲過程穿過無序的介質。

逾滲理論是處理強無序和具有隨機幾何結構系統常用的理論方法之一。這一理論研究的中心內容是：當系統的成分或某種意義上的密度變化達到一定值（稱為逾滲閾值）時，在逾滲閾值處系統的一些物理性質會發生尖銳的變化，即在逾滲閾值處，系統的一些物理現象的連續性會消失（而從另一方面看，則是突然出現）。

逾滲轉變，指的是在龐大無序系統中隨著聯結程度，或某種密度、占據數、濃度的增加（或減少）到一定程度，系統內突然出現（或消失）某種長程聯結性，性質發生突變，我們稱發生了逾滲轉變，或者說發生了尖銳的相變。正是這種逾滲轉變，使之成為描述多種不同現象的一個自然模型，用於闡明相變和臨界現象的一些最重要的物理概念，其中許多概念對非晶態固體（高分子材料是典型的一種）是十分有用的。

蒙特卡羅方法

蒙特卡羅方法（英語：Monte Carlo method），也稱統計模擬方法，是1940年代中期由於科學技術的發展和電子計算機的發明，而提出的一種以機率統計理論為指導的數值計算方法。是指使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。

20世紀40年代，在馮·諾伊曼，斯塔尼斯拉夫·烏拉姆和尼古拉斯·梅特羅波利斯在洛斯阿拉莫斯國家實驗室為核武器計畫工作時，發明了蒙特卡羅方法。因為烏拉姆的叔叔經常在摩納哥的蒙特卡洛賭場輸錢得名，而蒙特卡羅方法正是以機率為基礎的方法。

與它對應的是確定性算法。

蒙特卡羅方法在金融工程學、總量經濟學、生物醫學、計算物理學（如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算）機器學習等領域套用廣泛。

伊辛模型

伊辛模型（英語：Ising model，/ˈaɪsɪŋ/，德語：[ˈiːzɪŋ]），是一個以物理學家恩斯特·伊辛為名的數學模型，用於描述物質的鐵磁性。該模型中包含了可以用來描述單個原子磁矩的參數{\displaystyle \sigma _{i}}，其值只能為+1或-1，分別代表自旋向上或向下，這些磁矩通常會按照某種規則排列，形成晶格，並且在模型中會引入特定互動作用的參數，使得相鄰的自旋互相影響。雖然該模型相對於物理現實是一個相當簡化的模型，但它卻和鐵磁性物質一樣會產生相變。事實上，一個二維的方晶格伊辛模型是已知最簡單而會產生相變的物理系統。

伊辛模型最早是由物理學家威廉·楞次在1920年發明的，他把該模型當成是一個給他學生恩斯特·伊辛的問題。伊辛在他一篇1924年的論文中求得了一維伊辛模型的解析解，並且證明它不會產生相變。二維方晶格伊辛模型相對於一維的難出許多，因此其解析的描述在一段時間之後才在1943年由拉斯·昂薩格給出。一般來說，二維伊辛模型的解析解可由傳遞矩陣法求得，不過也有幾個和量子場論有關的解法。對於大於三維的伊辛模型目前還沒有找到解析解，但其近似解可由諸多方法求得，例如平均場論。

梅特羅波利斯－黑斯廷斯算法

梅特羅波利斯－黑斯廷斯算法（英語：Metropolis–Hastings algorithm）是統計學與統計物理中的一種馬爾科夫蒙特卡洛（MCMC）方法，用於在難以直接採樣時從某一機率分布中抽取隨機樣本序列。得到的序列可用於估計該機率分布或計算積分（如期望值）等。梅特羅波利斯－黑斯廷斯或其他MCMC算法一般用於從多變數（尤其是高維）分布中採樣。對於單變數分布而言，常會使用自適應判別採樣（adaptive rejection sampling）等其他能抽取獨立樣本的方法，而不會出現MCMC中樣本自相關的問題。