數環是一種特殊的數集，由數組成的環，是環的最基本的例子和模型.設P是複數集的非空子集，如果P中任意兩個數的和、差、積仍屬於P，則稱P是一個數環。如全體整數的集合Z，全體有理數的集合Q，全體實數的集合R和全體複數的集合C，分別稱為整數環Z、有理數環Q、實數環R和複數環C；對數的加法、乘法均構成環；偶數集是數環，稱為偶數環；還有各種代數整數環等，只有數“零”作成的數集{0}也是數環。
基本介紹
- 中文名：數環
- 外文名：number ring
- 屬性：是環的最基本的例子和模型
- 所屬學科：數學
- 舉例：整數環Z、有理數環Q等
基本概念,數環舉例,性質,典型例題分析,環,關於數域,
基本概念
圖1如果一個數集中的任意兩個數，經過某種運算所得的結果仍是這個數集中的數，那么就說這個數集關於這種運算封閉。
這樣，數環就是關於加法、減法、乘法運算封閉的非空數集。代數學中環的概念正是數環概念的推廣和一般化。
數環舉例
只由一個數0組成的集合，即{0}，也是數環，因為0+0=0，0-0=0，0×0=0，這個數環叫做零環，它是最小的數環，即其它所有的數環都包含它。
若數環S含非零數a，則S必含無窮多個數。
全體整數集Z是一個數環，因為整數的和、差、積還數，這個數環叫整數環。
自然數集不是一個數環，因為自然數的差不一定是自然數。
對某個整數n，n的所有整數倍的集合構成數環，特別，n=2，全體偶數集構成數環，稱為偶數環，記做2Z。
全體有理數集Q、全體實數集R、全體複數集C都構成數環，分別稱為整數環Z、有理數環Q、實數環R和複數環C。整數環Z中帶餘除法定理成立，整數論正是研究整數環性質的有關理論。
全體奇數集不能構成數環，因為，兩個奇數的和不再是奇數。
全體形如3n+2的整數集也不構成數環。
全體形如
(m、n為整數)的數集構成數環。
性質
性質1 任何數環都包含數零（即零環是最小的數環）。
性質2 設S是一個數環，若a∈S，則na∈S(n∈Z)。
性質3 若M、N都是數環，則M∩N也是數環。
典型例題分析
例1自然數全體對數的四則運算是否形成環或域?
解：自然數全體對數的加法、乘法不形成環，也不形成域。
因為兩個自然數相減不一定還是自然數，所以自然數關於數的加、減、乘不形成環，也不形成域。
例2證明，如果一個數環S≠{o)，那么S含有無限多個數。
證明：設
，由數環的性質，則
，從而
均屬於S，且當
時，
，從而得證S含有無限多個數。
例3證明，兩個數環的交還是一個數環；兩個數環的並是不是數環?
證明：(i)設
是兩個數環，
，於是
且
，從而
，且
，因此
，故
是數環。
(ii)兩個數環的並不一定是數環，例如，
，顯然
，則
，但
，故
不是數環。
環
環是近世代數學中一個重要概念。對一個集規定兩種代數運算(通常分別稱為加法和乘法)，使加法滿足結合律及交換律，乘法滿足結合律，乘法對於加法滿足分配律；這集中還有零元素，就是與集中的任何元素相加結果仍等於該元素的一種元素，井且每個元素都有負元素，任何元素與其負元素相加等於零元素：這種集稱為“環”。如果環的乘法滿足交換律，稱為“交換環”。以數為元素的環稱為“數環”；例如，整數的全體構成一個數環。
關於數域
定義設F是一個數環，如果
(i)F含有一個不等於零的數；
(ii)如果
，且
，則
．
那么就稱F是一個數域。
數域的一個基本結論任何數域都包含有理數域Q。
