整式的除法分為單項式除以單項式、多項式除以單項式、單項式除以多項式、多項式除以多項式，共四種類型。其中，現行國中數學教材關於整式除法的內容中，會專門涉及上述的兩種類型——單項式除以單項式、多項式除以單項式，主要進行公式計算。
基本介紹
- 中文名：整式的除法
- 類型：多項式化簡
- 性質：計算系統
- 用法：公式計算
分類,關於多項式除以多項式,注意事項,習題,
分類
我們知道，整式是單項式和多項式的總稱。於是，整式的除法共有2×2=4種類型，即：單項式除以單項式、多項式除以單項式、單項式除以多項式、多項式除以多項式。其化簡方式如下所述：
單項式的除法
多項式除以單項式
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。
關於多項式除以多項式
多項式除以多項式，通常採用長除法（也叫做“綜合除法”或“豎式除法”），它是我們習以為常的算術除法（豎式）在多項式運算中的推廣。它可以很容易地手算，因為它將一個相對複雜的除法問題分解成更小的一些問題。
如果採用連等式的形式進行化簡，則類似於分式的約分，即：先將被除式與除式分別因式分解，然後消掉二者都有的公因式，得出最後的結果。對於次數較高的多項式進行因式分解，往往需要大量的添項、拆項等技巧，並且線索有時極其不明顯，還可能會涉及到各種中學基礎教育裡面不要求的多項式恆等式（即使是二項式定理，也要等到高二才會學到）。如果採用連等式進行化簡的話，則運算效率將遠遠不及長除法。這也是現行國中數學教材不涉及對多項式除以多項式進行遞等式化簡的原因之一。
注意事項
多項式排列注意事項
在做多項式的排列的題時需注意：
（1）由於單項式的項，包括它前面的性質符號，因此在排列時，仍需把每一項的性質符號看作是這一項的一部分，一起移動。
（2）有兩個或兩個以上字母的多項式，排列時，要注意：a. 先確認按照哪個字母的指數來排列。b. 確定按這個字母向里排列，還是向外排列。
（3）整式：單項式和多項式統稱為整式。
（4）整式的加減，所含字母相同,並且相同字母的次數也相同的項叫做同類項。
掌握同類項的概念時注意：
1. 判斷幾個單項式或項，是否是同類項，就要掌握兩個條件：
①所含字母相同。
②相同字母的次數也相同.
2. 同類項與係數無關，與字母排列的順序也無關。
3. 所有常數項都是同類項。
a.合併同類項的概念：把多項式中的同類項合併成一項叫做合併同類項。
b. 合併同類項的法則：同類項的係數相加，所得結果作為係數，字母和字母的指數不變。
合併同類項步驟：
（1）準確的找出同類項；
（2）逆用分配律，把同類項的係數加在一起（用小括弧），字母和字母的指數不變；
（3）寫出合併後的結果。
在掌握合併同類項時，應注意：
①如果兩個同類項的係數互為相反數，合併同類項後，結果為0；
②不要漏掉不能合併的項；
③只要不再有同類項，就是結果（可能是單項式，也可能是多項式）；
④幾個多項式間合併不算做合併同類項[-3(a+b)c]+7(a+b)c=(7-3)(a+b)c，這不叫合併同類項，只是用了合併同類項的方法；
⑤合併同類項的關鍵：正確判斷同類項。
例：8a+2b+5a-b
解：原式=（8+5）a+（2-1）b=13a+b
其中，化簡結果裡面的“b”表示1b。通常1和-1是省略不寫的，譬如：-1a=-a。
習題
求證：不論x、y取何值，代數式x2+y2+4x-6y+14的值總是正數。
證明：易知，
x2+y2+4x-6y+14
= x2+4x+4+y^2-6y+9+1
=(x+2)2+(y-3)2+1。
∵ (x+2)2≥0，(y-3)2≥0，
∴ (x+2)2+(y-3)2≥0，
∴ (x+2)2+(y-3)2+1≥1。
即原式的值總是正數。
