長度為q的q進制里德-索羅門碼，這樣的碼叫做擴展碼。該碼可糾正t=（n-k）/2 個符號錯誤，且既可以將它看做是對可以糾正t一1個錯誤、檢測t個錯誤(擴展)的碼添加一個奇偶校驗，還可以將它看做是對可以糾正t個錯誤的碼加上一個額外的信息符號。
擴展碼不是循環碼，但是可以用頻域技術對其進行編碼和解碼。這種碼的特性相對來說易於理解，解碼方法的邏輯是其屬性的有效證明。
基本介紹
- 中文名：擴展碼
- 外文名：extended code
- 定義：長度為q的q進制里德-索羅門碼
- 套用學科：計算機原理
- 作用：檢測，糾正錯誤的碼
- 分類：單擴展碼，雙擴展碼
定義,分類,單拓展碼,雙拓展碼,
定義
(n，k)分組碼都是糾正單個錯誤的。假設出現兩位錯，且錯誤模式為
和
，則錯誤伴隨式是H的第i列和第j列相應位按模2求和的結果。因為H的各列互不相同，故
，所以有錯。但是，它可能與第k列相同，即
。這時，也就是說，如果錯了兩位，不僅不能正確解碼，而且也發現不了錯誤，這是人們不希望的。
例如（7,4）碼的校驗矩陣為
若第5位和第6位有錯，則伴隨式為
它恰好與第3列相同。這時，就將錯誤模式0000110誤認為0010000，於是，就將實際無錯的第3位錯糾了。
所以，上述由H矩陣構成的碼，只能糾正單個錯誤，而不能發現兩個錯誤，當然更談不上糾正兩個錯誤了。為了能糾正一個錯誤，又能夠發現兩個錯誤，可以在糾單錯碼的基礎上加以擴展，使構造的H矩陣保證任意3列線性無關。
構造長度為q的q進制里德-索羅門碼，這樣的碼叫做擴展碼。該碼可糾正t=（n-k）/2個符號錯誤，且既可以將它看做是對可以糾正t一1個錯誤、檢測t個錯誤(擴展)的碼添加一個奇偶校驗，還可以將它看做是對可以糾正t個錯誤的碼加上一個額外的信息符號。
擴展碼不是循環碼，但是可以用頻域技術對其進行編碼和解碼。這種碼的特性相對來說易於理解，解碼方法的邏輯是其屬性的有效證明。
分類
單拓展碼
示例：要想構造可糾正一個錯誤、檢測兩個錯誤的長度為7、GF(8)上的里德一索羅門碼，我們可以使用
，信息
進行系統編碼後，成為
。位置3的傅立葉變換為
。
所以最後的碼字為
。
現在，我們在位置7和位置5上生成兩個錯誤，接收序列就變成
。序列
。的校正子多項式是
。
位置4的校正子是0。嘗試糾正單個錯誤，則產生連線多項式
，且位置2的校正子分量得到了正確的預測。因此，位置7上的符號就不再需要了。錯誤值就是
的值，即
，所以收到的(7，4)碼的碼字可以被糾正成
，前4個符號是信息。
另外，我們也可以在位置5和位置3上製造兩個錯誤，那么接收到的序列就是
，
的校正子多項式是
。
位置3的值是
。糾正單個錯誤的連線多項式是
，但是它不能正確地預測下一個勻量。所以我們假設邊緣頻率
是正確的，並將它加到計算出的
上去，得到糾正兩個錯誤的碼的校正子
。雙錯誤糾正的關鍵方程為：
，
。
消去
，得到
，
。它的根是
和
，表明錯誤在位置5和位置3上。
雙拓展碼
示例：我們考慮GF(8)_E的(9，5)里德一索羅門碼的情形。在這個例子中，我們有一個由5個符號組成的信息序列
。將第一個和最後一個符號作為邊緣符號對待，在頻域中將它們分別置於位置3和位置0。這樣，我們便從糾正單個錯誤的里德一索羅門碼的頻譜開始：
。反向變換將給出(7，5)里德一索羅門碼的碼字：
。
現在將兩個額外的信息符號加到碼字的兩端，構成(9，5)里德一索羅門碼字
下面假設在位置8和位置5上產生了錯誤，這樣便產生接收序列
先將附加的信息從序列中去除，使得
變換為
。
向下的3階項並沒有作為校正子析出，而附加的符號則加到了合適的點上，得到
。校正子中的各項會隨著階數的增加而增
的倍數，表明出現了單個錯誤，且關鍵方程的解為
。因此，錯誤序列的譜就是
。
當它與R(z)相加時得到
。
解碼得到了正確的實現，且所有的信息都可以直接從c(z)中得到。
