拉梅微分方程

拉梅微分方程

拉梅方程(Lame differential equation)亦稱納維方程,以位移表示的各向同性線性彈性力學的一組偏微分方程。

基本介紹

  • 中文名:拉梅微分方程
  • 外文名:Lame differential equation
  • 領域:數學
  • 別稱:納維方程
  • 屬性:偏微分方程
  • 套用拉普拉斯方程的變數分離方法
簡介,拉梅方程的公式,漸近展開,

簡介

在數學中,拉梅函式(或橢球諧波函式)是拉梅方程(二階常微分方程)的解。 它在論文(加布里埃爾·拉梅1837)中介紹。 拉梅方程出套用於橢圓坐標中拉普拉斯方程的變數分離方法中。在一些特殊情況下,可以用稱為拉梅多項式的多項式來表示解。
拉梅微分方程

拉梅方程的公式

拉梅方程的等式如下:
其中A和B是常數,
魏爾斯特拉斯(Weierstrass)橢圓函式。 最重要的情況是當
對於整數n和k的橢圓模,在這種情況下,解擴展到在整個複平面上定義的擬態函式。對於B的其他值,解具有分支點。
通過用
將獨立變數更改為t,拉梅方程也可以以代數形式重寫為
經過變化之後變成了亨恩方程的特例。
拉梅方程的更一般形式是可以寫入的橢圓方程或橢圓波方程(觀察我們寫的是
,而不是上面的A)。
其中k是雅可比橢圓函式的橢圓模量,
是常數。 對於
,方程式成為具有
的拉梅方程。對於
方程簡化為Mathieu方程
拉梅方程的威爾斯特拉斯式非常不適合於計算。方程式最合適的形式是以雅可比形式。代數和三角形的使用也很麻煩。拉梅方程出現於量子力學中,作為關於各種周期性和非調諧電位的Schrödinger方程的經典解的小波動方程。

漸近展開

Müller已經獲得了對於κ的大值的周期性橢圓波函式的漸近展開,以及拉梅方程的漸近展開。他對於特徵值
獲得的漸近展開是,q近似為一個奇整數(並且由邊界條件更準確地確定):
觀察條件在q和k(如Mathieu函式的相應計算,扁圓球形波函式和扁圓球形波函式)中交替。具有以下邊界條件(其中K(k)是由完整橢圓積分給出的四分之一周期)
以及導數
分別定義橢球波函式
這裡的上標是指Ec的解,而較低的解Es。最後在q0擴展
,會得到:
在Mathieu方程的極限中,這些表達式減少到Mathieu情況的相應表達式。

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