投射柱面

投射柱面(projecting cylinder)是柱面的一種，已知一條空間曲線及一個平面，以此平面的法線方向為母線方向，空間曲線為準線，所產生的柱面，叫做這條曲線關於這個平面的投射柱面。通常取坐標面為定平面。利用空間曲線的投射柱面可以比較準確地作出曲線的圖形。

基本介紹

• 中文名：投射柱面
• 外文名：projecting cylinder
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：空間解析幾何
• 簡介：柱面的一種

基本介紹

過曲線上各點作平行於某一方向的直線，所有這些直線構成的柱面，稱為該曲線沿某一方向的投射柱面。在空間直角坐標系下，沿某一坐標軸的方向，曲線的投射柱面的方程中，缺一個變數，研究空間曲線常用這類二元方程。例如，對於空間曲線

分別消去兩個方程中的y，z得曲線的投射柱面方程：x²-4z=0，x²+y²=4y.從而知道所給曲線是圓柱面x²+(y-2)²=4與拋物柱面x²=4z的交線。這時容易將曲線的普通方程化為參數方程

說明 一般地說，任意兩個投射柱面的交線即表示原曲線，但對例1中的曲線用球面和在xy面上的投射柱面來表示則比較容易看出它的形狀。

由例1可見，已知空間一條曲線的方程時，可以推出它關於三個坐標面的投射柱面的方程，於是可以選取兩個比較簡單的投射柱面的方程作為這條曲線的方程，因此在描繪某條曲線時，就可以描繪這兩個柱面的交線(在畫法幾何上將這交線稱為貫線)。例2、例3說明作圖的方法。

相關定理

定理已知空間曲線

則從兩方程中消去z，即得出它關於xy面的投射柱面的方程。

證明 我們推求以已知曲線為準線，z軸方向為母線方向的柱面方程。設 是已知曲線上一點，則

過此點的母線方程是

將(2)代入(1)，得 ，從這兩方程消去 ，也即從已知兩方程消去z，則得到所求投射柱面的方程。

例題解析

【例1】求維維安尼曲線(本章第二節例2)關於三個坐標面的投射柱面。

解: 1.從 中消去z，即得關於xy面的投射柱面，這是一個直圓柱面(圖1)。

圖1

2.由已知兩方程相減得z²=a(a-x)，此即關於zx面的投射柱面，這是一個拋物柱面(圖1)。

3.由z²=a(a-x)與y²=x(a-x)相除，得，再代入z²=a(a-x)中，得z⁴=a²(z²- y²)這是關於yz面的投射柱面(圖1)。

【例2】求作二柱面x²+y²-2x=0，x²+z²-4=0 的交線。

解:先作出各柱面與其母線所垂直的坐標面的交線(圖2)，然後取一平面，使與x軸(即與二柱面母線都不平行的軸)垂直，設此平面的方程為x=k，它與x軸的交點為K，此平面與坐標面上的交線交於A、B、C、D四點，且過每點必有一對應柱面的母線通過，此四條母線都在平面x=k上，四條母線的交點E、F、G、H也是二柱面交線上的四點，如令平面x=k取不同的位置，即可得出足夠的點以作出曲線(圖3)。

【例3】求曲線2x²+z²+4y=4z, x²+ 3z²-8y=12z關於三個坐標面的投射柱面，並作此曲線。

解:從已知方程分別消去x,y,z，即得曲線關於三個坐標面的投射柱面，它們分別是：

z²-4y= 4z，

x²+z²= 4z，

x²+4y= 0.

圖4表示第二與第三兩個柱面所相交的原曲線，它的畫法與例2的方法相似。

圖4