基本介紹
- 中文名：截錐體
- 外文名：truncated cone
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：立體幾何
- 簡介：與錐體有關的多面體
- 舉例：圓台，稜台
基本概念,截錐體舉例,圓台(平截圓錐體),斜截圓錐體,稜台(平截稜錐),斜截稜錐,截錐體的體積計算,
基本概念
截錐體是一種與錐體有關的多面體，指由一平面去截一錐體而得的另一個錐體。錐體被不過頂點且與錐體母線都相交的平面所截，留下的在截面和底面間的錐體部分。常見的截錐體有圓台，稜台等，例如圓台體（圖2b）：直角三角形ABC繞直角邊AC旋轉一周，斜邊AB形成的空間軌跡所包圍的幾何體就是一個圓錐體，如圖2(a)所示。AB形成的表面叫圓錐面，AB為圓錐面的素線或母線。若圓錐體的頂端被截去一部分，就成為圓錐台或截錐體，如圖2(b)所示。
圖1（截錐體）截錐體舉例
圓台(平截圓錐體)
圓台亦稱正圓台或平截圓錐體，是一種特殊的台體，中國古算書稱圓亭、由平行於圓錐底面的平面截去圓錐上部小圓錐後留下的幾何體。截面和圓錐的底面稱為圓台的上、下底面，圓錐的軸、母線和側面的留下部分稱為圓台的軸、母線和側面，軸長稱為圓台的高。圓台也是直角梯形(如圖3中的梯形O1O2B2B1)繞一直角邊旋轉一周而生成的幾何體，圖中⊙O1，⊙O2分別為圓台的上底、下底，A1A2，B1B2等為圓台的母線，線段O1O2的長為圓台的高。
圖3圓台的主要性質是：
1.圓台的兩個底面都是圓，它們所在的平面平行。
2.平行於底面的截面都是圓。
3.圓台的母線都相等，它們延長相交於軸上同一點。
4.圓台的軸過兩個底面的圓心，並且垂直於兩底面，連結兩底面圓心的線段的長等於圓台的高。
5.圓台的軸截面是等腰梯形，它的兩腰是圓台的兩條母線，它的上、下底分別是圓台的上、下底面圓的直徑。
6.圓台的高、一條母線和經過這條母線兩個端點的上、下底面半徑組成一個直角梯形。
斜截圓錐體
斜截圓錐體是一種截圓錐體，用與所有母線均相交，且不與底面平行和相交的平面截去圓錐的錐尖部分，餘下的封閉幾何體稱為斜截圓錐，如圖4，圖5 為其三視圖。截交線為橢圓，再畫截交線的投影時，需先求出若干個共有點的投影，然後將它們依次光滑連線起來，才能獲得截交線的投影。
圖4
圖5稜台(平截稜錐)
稜台亦稱角台或平截稜錐，是一種特殊的台體。即被截錐體是稜錐的台體。稜台底面的邊是稜台的底棱。稜錐被截時，側面餘下的梯形稱為稜台的側面，相鄰側面的交線稱為側棱，稜台側面梯形的高都稱為稜台的斜高，一般情況下各斜高不等.由三稜錐、四稜錐……n稜錐(n≥3，n∈N)截得的稜台分別稱為三稜台、四稜台……n稜台.稜台用它的兩底面的頂點字母表示，例如，五稜台記為稜台ABCDE-A′B′C′D′E′，或簡記為稜台AC′。
圖6稜台的主要性質有：
1.兩個底面是相似多邊形。
2.各側棱的延長線交於一點。
3.側面都是梯形。
4.對角面是梯形。
5.與稜台底面平行的截面是和底面相似的多邊形。
斜截稜錐
斜截稜錐與平截稜錐（即稜台）的區別是：平截稜錐的截面平行於底面，而斜截稜錐的截面是不與底面平行和相交的平面，如圖7為斜截稜錐的正視圖和俯視圖。
圖7截錐體的體積計算
截錐體的體積可用公式計算，也可用定積分計算。
【例1】設有一截錐體，其上、下底均為橢圓，橢圓的軸長分別為2a，2b和2A，2B，高為h，求這截錐體的體積。
解 建立如圖8所示的坐標系，過y軸上y點作垂直於y軸的半面，則平面與截錐體
的截面為橢圓，易得其長短半軸分別為
