《微分幾何》是2023年北京航空航天大學出版社出版的圖書。
基本介紹
- 中文名：微分幾何
- 出版時間：2023年9月1日
- 出版社： 北京航空航天大學出版社
- ISBN：9787512440517
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
本書主要介紹三維歐氏空間中曲線、曲面的局部理論和內蘊性質，側重介紹如何利用自然標架和活動標架研究曲線、曲面的性質，扼要介紹了整體微分幾何的一些初步知識。為了使學生能接觸一些張量分析的方法，書中也介紹了多重線性代數的相關內容。
曲線、曲面的局部理論和張量分析的部分理論可做為數學專業本科生微分幾何的必修內容，整體微分幾何可做為高年級本科生的專業課教材或者課外閱讀材料。
圖書目錄
第1章 向量函式
§1.1 向量代數
§1.1.1 n維向量空間與歐氏空間
§1.1.2 三維歐氏空間
§1.1.3 向量的代數運算
§1.1.4 正交標架與坐標變換
§1.1.5 契約變換
§1.2 向量分析
§1.2.1 向量函式的概念
§1.2.2 向量函式的極限
§1.2.3 向量函式的連續
§1.2.4 向量函式的微商
§1.2.5 向量函式的Taylor公式
§1.2.6 向量函式的積分
§1.3 幾類特殊的向量函式
第2章 曲線的局部理論
§2.1 曲線的基本概念
§2.1.1 曲線的概念
§2.1.2 曲線的弧長與弧長參數
§2.2 曲線的nenet公式
§2.2.1 曲線的：Frenet標架
§2.2.2 空間曲線的的曲率
§2.2.3 空間曲線的Frenet公式
§2.2.4 一般方程給出的空間曲線的曲率和撓率
§2.3 空間曲線在一點附近的結構
§2.3.1 近似曲線
§2.3.2 密切圓（曲率圓）
§2.4 曲線論基本定理
§2.5 幾類特殊曲線
§2.5.1 平面曲線
§2.5.2 柱面螺線
§2.5.3 曲線的漸伸線和漸縮線
§2.5.4 貝特朗（Bertrand）曲線
第3章 曲面的局部理論
§3.1 曲面的定義
§3.1.1 正則曲面
§3.1.2 曲面的參數變換
§3.1.3 曲面的切平面及法線
§3.1.4 曲面間的映射及切映射
§3.2 曲面的第一基本形式
§3.2.1 曲面的第一基本形式，曲面上曲線的弧長
§3.2.2 曲面曲線的弧長
§3.2.3 曲面上兩相交曲線的夾角
§3.2.4 曲面上的正交曲線網
§3.2.5 曲面域的面積
§3.3 曲面的第二基本形式
§3.4 法曲率
§3.4.1 曲面的法曲率
§3.4.2 曲面上點的分類
§3.4.3 法曲率的幾何意義
§3.4.4 曲面的Gauss映射
§3.5 主曲率和Gauss曲率
§3.5.1 主方向的計算
§3.5.2 法曲率和主曲率的關係
§3.5.3 二階近似曲面
§3.5.4 Gauss曲率的幾何意義
第4章 特殊曲面
§4.1 旋轉曲面
§4.2 極小曲面
§4.3 直紋面和可展曲面
§4.3.1 直紋面
§4.3.2 可展曲面
§4.3.3 可展曲面作為單參數族的包絡面
§4.4 全臍點曲面
第5章 曲面論基本定理
§5.1 自然標架運動方程
§5.2 曲面的結構方程
§5.2.1 曲面基本方程的推導
§5.2.2 Gauss曲率的內蘊性質
§5.3 曲面論基本定理
第6章 張量
§6.1 張量積
§6.1.1 對偶空間
§6.1.21 階張量
§6.1.32 階張量
§6.2 高階張量
§6.2.1 p階反變q階協變張量
§6.2.2 協變張量
第7章 活動標架法
§7.1 外微分法
§7.1.1 外微分法
§7.1.2 微分形式的積分
§7.2 E3的正交標架
§7.2.1 活動標架的相對分量
§7.2.2 活動標架的結構方程
§7.2.3 活動標架基本定理
§7.3 活動標架法的套用
§7.3.1 曲面的活動標架場
§7.3.2 曲面的結構方程
§7.3.3 曲面的基本形式
§7.3.4 曲面的Gauss曲率和平均曲率
第8章 曲面的內蘊幾何
§8.1 曲面的等距變換
§8.2 測地曲率和測地線
§8.2.1 曲面曲線的測地曲率和測地撓率
§8.2.2 測地曲率的計算公式
§8.2.3 曲面上的測地線
§8.2.4 變分法
§8.3 曲面上向量的平行移動
§8.3.1 平行移動
§8.3.2 向量場沿測地線的平行移動
§8.4 測地坐標系
§8.4.1 測地平行坐標系
§8.4.2 曲面上測地線的短程性
§8.4.3 測地極坐標系和法坐標系
§8.5 Gauss-Bonnet公式
§8.6 Riemann度量
§8.6.1 切向量場
§8.6.2 Poincara度量
§8.6.3 羅氏平面上的測地線
§8.6.4 羅氏平面的平行公理
第9章 曲線的整體性質
§9.1 平面曲線的整體性質
§9.1.1 旋轉指標
§9.1.2 等周不等式
§9.1.3 凸閉曲線
§9.2 空間曲線的整體性質
§9.2.1 球面上的克羅夫頓（Crofton）公式
§9.2.2 簡單閉曲線的全曲率
§9.2.3 有結曲線的全曲率
§9.2.4 空間曲線的全撓率
第10章 曲面的整體性質
§10.1 簡單曲面和光滑曲面
§10.2 整體Gauss-Bonnet定理
§10.2.1 虧格與示性數
§10.2.2 Gauss-Bonnet公式
§10.2.3 Gauss-Bonnet定理的套用
§10.3 凸曲面和卵形面
§10.4 剛性曲面與W曲面
§10.4.1 剛性曲面
§10.4.2 Minkowski唯一性問題
§10.4.3 Weingarten曲面
§10.5 曲面上的Laplace運算元
§10.5.1 曲面的Laplace運算元
§10.5.2 自然標架下Laplace運算元的表達式
§10.6 向量場的奇點與指標
§10.7 曲面的完備性
附錄 部分習題參考答案
參考文獻
