弦論，即弦理論（string theory），是理論物理學上的一個尚未被證實的理論。這種理論認為宇宙是由我們所看不到的細小的弦和多維組成的。弦論要解決的問題是十分複雜困難的，如了解為何宇宙中有這些物質和互動作用、為何時空是四維的。因為沒有其它任何一個理論在這個目標上的進展可與之比擬，弦論無疑地仍是值得繼續努力研究。
基本信息,弦論簡介,（一） 粒子物理,（二） 弦論（string theory）,（三） 歷史,（四） 現況與展望,弦論研究的歷史,弦論的發現,弦論研究的轉變,弦論發展的革命,弦論與宇宙學,摘要,一、前言,二、與弦論有關的宇宙學問題,三、弦論中和宇宙學有關的想法,四、結論,弦論公式,弦—霍金膜上的量子力學詮釋,超弦理論,弦論的未來,
基本信息
弦論的出發點是，如果我們有更高精密度的實驗，也許會發現基本粒子其實是條線。這條線或許是一個線段，稱作“開弦”（open string），或是一個循環，稱作“閉弦”（closed string）。不論如何，弦可以振動，而不同的振動態會在精密度不佳時被誤認為不同的粒子。各個振動態的性質，對應到不同粒子的性質。例如，弦的不同振動能量，會被誤認為不同粒子的質量。即認為自然界的基本單元不是電子、光子、中微子和夸克之類的粒子。
弦論簡介
（一） 粒子物理
根據現今普遍被接受的物理理論，宇宙中的物質是由一些所謂的「基本粒子」所組成。例如原子是由電子及原子核所組成，原子核是由質子與中子所組成，而質子與中子又分別是由夸克以不同的方式組成。其中只有電子與夸克被認為是基本粒子，在實驗上並沒有找到任何證據顯示，他們是由更小的粒子所組成。除了電子與夸克，還有其他許多種基本粒子，共同組成宇宙中所有的已知物質。根據現有的理論，基本粒子不但說明了物質的組成，也解釋了物質之間的互動作用。例如電子與電子間之電磁作用力，可以解釋為電子間交換光子所造成的效果。因此，宇宙中一切物理現象的規則，原則上可以化約成描述基本粒子的物理定律。因此，研究最基本的物理定律的領域，一般被稱作「粒子物理」。另一方面，要研究更基本的物理定律時，通常意味著要研究更小尺度下的物理；而根據海森堡的測不準原理，要探測更小尺度範圍內的現象，需要更大的能量。因此，我們需要建造更大的粒子對撞機或加速器來研究更基本的物理定律；而研究最基本的物理定律的領域，也被稱作「高能物理」。
現在普遍被接受的描述基本粒子的理論，稱作「標準模型」。標準模型的數學架構，是所謂的「量子場，或簡稱「場論」。原則上，數學上可能的量子場論模型有無限多個，可以容許任意多種不同性質的基本粒子，但自然界選擇了標準模型，以及其中所有基本粒子的物理性質，例如電子的質量及電荷等等。高能物理的研究，大致可分為兩類。一類是「現象學」，一類是「場論」。前者是以標準模型為基礎，研究實驗結果與模型間的關係。後者是研究場論的一般性質，並不局限在描述自然現象的模型中。當然，這兩者之間並沒有清楚的界線。
（二） 弦論（string theory）
弦論的出發點是，如果我們有更高精密度的實驗，也許會發現基本粒子其實是條線。這條線或許是一個線段，稱作「開弦」（open string），或是一個迴圈，稱作「閉弦」（closed string）。不論如何，弦可以振動，而不同的振動態會在精密度不佳時被誤認為不同的粒子。各個振動態的性質，對應到不同粒子的性質。例如，弦的不同振動能量，會被誤認為不同粒子的質量。
弦論特殊的地方之一，是弦的量子場論可能只有一個。也就是說，當我們考慮弦而非粒子的量子場論時，數學上可能的模型只有一個。（這件事尚未被完全證實，但至今所有已知的弦論都是等價的。）這表示，弦論中所有的物理性質，都是理論本身決定的。如果弦論是對的，電子的質量及電荷等等，都是理論可以告訴我們的。可惜（幸運？）的是，弦論是一個還在被研究發展的理論，我們對它的了解還不足以讓我們可以計算出電子的質量及電荷等等。所以，弦論還不是一個完整的理論，當然也沒有被實驗證實。另一方面，有許多原因，讓研究弦論的人相信，這是一個找尋更基本理論的正確方向。
前一段所述弦論的唯一性，是一個非常重要的特質。如果宇宙萬物都要永遠遵守同一個物理定律，這個物理定律應該是獨特的，而不是任意的。（雖然標準模型或量子場論中還有許多（（如電子質量等））參數是「任意的」，但其任意的程度已經比牛頓力學小得多。）一個萬有理論（Theory of Everything, TOE）必須是唯一的，否則它就不是萬有的，因為它不能解釋它為何是這樣而不是那樣。萬有理論中應該沒有任何自由參數；而弦論即滿足此一性質。
弦論的另一個優點是它不需要量子場論所需要的「重整化」。量子場論的計算中，總是出現一些無限大的量。本來一個合理的物理定律不應該預測任何無限大的量，但是我們相信，這些無限大的量之所以出現，是因為量子場論不是最基本的理論，而是精確度較差的等效理論。這樣的認識，告訴我們如何從這些無限大的量中找到有限值的物理量，而其方法，被稱作重整化。反之，一個基本的理論，不應該有無限大的量，也不需要重整化。如果追溯量子場論中出現無限大的原因，則發現與它假設了粒子是不具大小的點有關。弦論中即沒有這種無限大的問題。
可能更重要的一個弦論特質是它自動包含了量子重力場。愛因斯坦的廣義相對論，是重力作用的古典理論，其量子化長久以來是個令人頭痛的問題，也是理論物理里最主要的問題之一。如果以量子場論為架構來描述傳遞重力的基本粒子「重力子」，會發現計算中將出現的一些無限大並無法用重整化的方法解決。（因此標準模型並不包含對重力的描述。）相反地，一旦假設了弦的存在，便不可避免地在理論上導致了重力作用，原因是弦總是有一個振動態對應到重力子的性質。愛因斯坦的廣義相對論已經可以從弦論中被推導出來。
（三） 歷史
弦論最早被提出時是想要描述強作用力。當時夸克模型與量子色動力學還未被普遍地接受為描述強作用力的理論。依據現在的認識，介子是夸克與反夸克因強作用力組成的，但在弦論中被描述為一根開弦；弦的兩端即對應到夸克與反夸克，而弦本身則對應到強作用力在兩者之間形成的拉力。弦論因無法解釋許多強作用力的現象，而量子色動力學卻相對地相當成功，因此在弦論的第一次革命之前，有一段時間弦論被大多數的物理學家所遺棄。 弦論的第一次革命，指的是少數鍥而不捨地繼續研究弦論的物理學家發現，弦論雖然是一個失敗的強作用力理論，卻可能是統一所有已知互動作用與物質的理論。一根弦描述的不是介子，而可能是所有的基本粒子。這個大膽的猜想的基礎，是根據一項理論上的重大進展，亦即物理學家發現弦論中自動包含了重力理論，而且可以有數學上自洽的量子化。如前所述，重力場論的量子化是一個極其困難、長久以來懸而未決的問題，因此不論弦論是否真能解釋所有的物理現象，單是看它可以解決重力場的量子化問題，就值得理論物理學家努力研究。因此，弦論的第一次革命吸引了許多物理學家投入其研究工作。可惜的是，不多久所有可以解決的問題都被解決了，剩下許多技術上無法克服的問題，似乎過於複雜艱澀，不知如何下手。慢慢地，許多物理學家就又離開了此一領域，直到弦論的第二次革命。 第二次革命指的是弦論的一些觀念上及技術上的躍進。這些進展不但突破了過去弦論研究中所遭遇的瓶頸，甚且對其他物理及數學的領域產生了重要的影響。弦論的大師之一維敦（Witten）甚至得過數學界的最高榮譽Fields Medal。但在此讓我們暫且不提弦論對其他領域的影響，先將注意力集中在弦論本身。這些弦論進展的中心觀念之一，是所謂的「對偶性」。對偶性指的是兩個看似不相同的理論，實際上是等價的。所謂等價，意思是即使兩個理論對實驗本身的物理描述可能完全不同，兩個理論對所有可以測量的值都有相等的預測。第二次革命中發現了許多新的對偶性。它的好處是在一個理論中十分困難的問題，可能等價於其對偶理論中一個簡單的問題。因此過去一些不能解決的問題，突然變得可以解決。除此之外，對偶性還有另一個重要的結果。過去研究弦論的人發現了五種不同的弦論，現在卻發現這些看似不同的弦論，其實互為對偶。換句話說，我們只有一個理論，但它有五種不同的表示方法。這個唯一的理論，現在被稱為M理論。M代表mistery、mother或membrane。從第二次革命至今，弦論一直有持續的快速的進展，無疑地已成為高能物理研究的主流之一。
（四） 現況與展望
造成第二次革命中對偶性的研究可以突飛猛進的原因之一，是發現了弦論中除了一維的弦之外，還有其他維數的物體。要了解這一點，必須先介紹「孤立子」（soliton）的概念。孤立子最早是在水中被發現。水是由水分子所組成，水分子的振動形成水波。大部分的水波生成之後會慢慢消退，但是某些特殊形狀的水波可以維持不變一段很長的時間，這種水波即所謂的孤立子。曾有人跟隨一個渠道中的孤立子行進數英里，而孤立子仍幾乎保持不變。場論中，基本粒子的某些特殊集體振動形式也會形成孤立子。孤立子夠小時，看起來也像一個粒子，但是弦論中有許多種不同的孤立子，各有不同的維數。有趣的是，雖然在一個理論中基本粒子和孤立子截然不同，但是某一理論中的孤立子可能對應到其對偶理論的基本粒子，而基本粒子卻對應到孤立子。因此，弦論中一維物體的獨特角色被淡化了，各種不同維數的物體地位平等地存在於弦論之中。
弦論的預測之一，是時空的維數為十維。雖然我們的經驗告訴我們時空只有四維，但理論物理學家已有許多方案可以解釋為何十維的時空看起來可以像是四維的。可能之一，是多出的六維縮得很小，所以沒被觀測到。另一個可能，是我們其實活在一個四維的孤立子上。有趣的是，時空的維數可以是弦論的預測之一；過去從未有過這樣的理論。但另一方面，有另一個弦論的對偶理論，它的時空是十一維的。（這個理論也是M理論的一種表示方式。）這是因為時空的形狀及維度，要看我們如何定義其測量方法才有意義；不同理論中的時空定義不一定恰好相同。
弦論研究的重要成果之一，是計算出某些（特別簡單的）黑洞的亂度。雖然霍金（Hawking）很久以前就預測出黑洞亂度的公式，但因為缺乏一個量子重力理論，無法真的根據亂度的定義直接算出結果。另一個量子重力理論應有的性質-全像原理（也與霍金的黑洞亂度公式有關），最近也在弦論中得到實現。有關於量子重力學的更基本也更有趣的問題是：時空到底是什麼。在弦論中，時空所有的性質都可以從理論中推導出來。在一些假想的情況中，時空的性質可以和我們的經驗大不相同。事實上，在大爆炸初期，時空的性質很可能的確非常不同。根據量子力學，要探測小尺度時空內的現象，必然伴隨著大的能量不確定性，而根據廣義相對論，這會造成時空結構上大的不確定性。結果是，一般經驗中平滑的、由無線多點構成的有關時空的概念，不可能在接近普朗克尺度（約10^(-37) m）時適用。數學上一般的幾何概念對普朗克尺度下的時空並不適用。數學上所謂的「非交換幾何」，是古典幾何的一種推廣，有可能可以用來描述普朗克尺度下的時空。近來在弦論中已經發現一些假想情況中的時空的確可以用非交換幾何來描述。
雖然弦論的研究至今不能告訴我們為何電子是如此重，或計算出任何當今技術可及之實驗結果，但是因為它要解決的問題是如此複雜困難（例如要了解為何宇宙中有這些物質和互動作用、為何時空是四維的等等），而且因為沒有其他任何一個理論在這個目標上的進展可與之比擬，弦論無疑地仍是值得繼續努力研究的方向。
——台大物理系 賀培銘 2001/2/3
弦論研究的歷史
弦論的發現
弦論的發現不同於過去任何物理理論的發現。 一個物理理論形成的經典過程是從實驗到理論，在愛因斯坦廣義相對論之前的所有理論無不如此。一個系統的理論的形成通常需要幾十年幾百年甚至更長的時間，牛頓的萬有引力理論起源於伽利略的力學及第谷，克卜勒的天文觀測和經驗公式。一個更為現代的例子是量子場論的建立。在量子力學建立(1925/26)之後僅僅兩年就有人試圖研究量子場論，量子場論的研究以狄拉克將輻射量子化及寫下電子的相對論方程為開端，到費曼 (Feynman)，薛溫格(Schwinger) 和朝永振一郎 (Tomonaga) 的量子電動力學為高潮，而以威爾遜(K. Wilson)的量子場論重正化群及有效量子場論為終結， 其間經過了四十餘年，數十甚至數百人的努力。 廣義相對論的建立似乎是個例外，儘管愛因斯坦一開始已經知道水星近日點進動，他卻以慣性質量等於引力質量這個等效原理為基礎，逐步以相當邏輯的方式建立了廣義相對論。如果愛因斯坦一開始對水星近日點進動反常一無所知，他對牛頓萬有引力與狹義相對論不相容的深刻洞察也會促使他走向廣義相對論。儘管同時有其他人如阿伯拉汗(Max Abraham)，米(Gustav Mie)試圖改正牛頓萬有引力，愛因斯坦的從原理出發的原則使得他得到正確的理論。
弦論發現的過程又不同於廣義相對論。弦論起源於一九六零年代的粒子物理，當時的強相互作用一連串實驗表明存在無窮多個強子，質量與自旋越來越大越來越高。這 些粒子絕大多數是不穩定粒子， 所以叫做共振態。當無窮多的粒子參與相互作用時，粒子與粒子散射振幅滿足一種奇怪的性質，叫做對偶性。 1968年，一個在麻省理工學院工作的義大利物理學家威尼采亞諾 (Gabriele Veneziano) 翻了翻數學手冊， 發現一個簡單的函式滿足對偶性，這就是著名的威尼采亞諾公式。 應當說當時還沒有實驗完全滿足這個公式。很快人們發現這個簡單的公式可以自然地解釋為弦與弦的散射振幅。 這樣，弦理論起源於一個公式，而不是起源於一個或者一系列實驗。伯克利大學的鈴木 (H. Suzuki) 據說也同時發現了這個公式，遺憾的是他請教了一位資深教授並相信了他，所以從來沒有發表這個公式。所有弦論篤信者都應為威尼亞采諾沒有做同樣的事感到慶幸，儘管他在當時同樣年輕。
弦論研究的轉變
弦論又可以說是起源於一種不恰當的物理和實驗。後來的發展表明，強相互作用不能用弦論，至少不能用已知的簡單的弦論來描述和解釋。強相互作用的最好的理論還是場論，一種最完美的場論：量子色動力學。在後來的某一章內我們會發現，其實弦論與量子色動力學有一種非常微妙，甚至可以說是一種離奇的聯繫。作為一種強相互作用的理論，弦論的沒落可以認為是弦論有可能後來被作為一種統一所有相互作用的理論運氣，更可以說是加州理工學院史瓦茲 (John Schwarz) 的運氣。想想吧，如果弦論順理成章地成為強相互作用的理論，我們可能還在孜孜不倦地忙於將愛因斯坦的廣義相對論量子化。不是說這種工作不能做，這種工作當然需要人做，正如現在還有相當多的人在做。如果弦論已經成為現實世界理論的一個部分，史瓦茲和他的合作者法國人舍爾克 (Joel Scherk)也不會靈機一動地將一種無質量，自旋為2的弦解釋為引力子，將類似威尼采亞諾散射振幅中含引力子的部分解釋為愛因斯坦理論中的相應部分，從而使得弦論一變而為量子引力理論！正是因為弦論已失去作為強相互作用理論的可能，日本的米谷明民 (Tamiaki Yoneya) 的大腦同時做了同樣的轉換，建議將弦論作為量子引力理論來看待。他們同時還指出，弦論也含有自旋為1的粒子，弦的相互作用包括現在成為經典的規範相互作用，從而弦論可能是統一所有相互作用的理論。
這種在技術上看似簡單的轉變，卻需要足夠的想像力和勇氣，一個好的物理學家一輩子能做一件這樣的工作就足夠了。我們說的史瓦茲的運氣同時又是弦論的運氣是因為史瓦茲本人的歷史幾乎可以看成弦的小歷史。史瓦茲毫無疑問是現代弦論的創始人之一。自從在1972年離開普林斯頓大學助理教授位置到加州理工學院任資深博士後研究員，他“十年如一日”，將弦論從只有幾個人知道的理論做成如今有數千人研究的學問。他也因此得以擺脫三年延長一次的位置，終於成了加州理工學院的正教授。因為他早期與格林 (Michael Green) 的工作，他與現在已在劍橋大學的格林獲得美國物理學會數學物理最高獎，2002年度的海因曼獎 (Heineman prize)。
弦論發展的革命
按照流行的說法，弦本身經過兩次“革命”。經過第一次“革命”，弦成為一種流行。一些弦論專家及一些親和派走的很遠，遠在1985年即第一次“革命”後不久，他們認為終極理論就在眼前。有人說這就是一切事物的理論 (TOE=Theory of Everything)，歐洲核子中心理論部主任愛利斯 (John Ellis) 是這一派的代表。顯然，這些人在那時是過於樂觀，或者是說對弦的理解還較浮於表面。為什麼這么說呢？弦論在當時被理解成純粹的弦的理論，即理論中基本對象是各種振動著的弦，又叫基本自由度。現在看來這種理解的確很膚淺，因為弦論中不可避免地含有其他自由度，如純粹的點狀粒子，兩維的膜等等。15年前為數不多的人認識到弦論發展的過程是一個相當長的過程，著名的威頓 (Edward Witten) 與他的老師格羅斯 (David Gross) 相反，以他對弦的深刻理解，一直顯得比較“悲觀”。表明他的悲觀是他的一句名言：“弦論是二十一世紀的物理偶然落在了二十世紀”。(這使我們想到 一些十九世紀的物理遺留到二十一世紀來完成，如湍流問題。) 第一次“革命”後一些人的盲目樂觀給反對弦論的人留下口實，遺患至今猶在。現在回過頭來看，第一次“革命”解決的主要問題是如何將粒子物理的標準理論在弦論中實現。這個問題並不象表面上看起來那么簡單，我們在後面會回到這個問題上來。當然，另外一個基本問題至今還沒有解決，這就是所謂宇宙學常數問題。15年前只有少數幾個人包括威頓意識到這是阻礙弦論進一步發展的主要問題。
第二次“革命”遠較第一次“革命”延伸得長 (1994-1998)， 影響也更大更廣。有意思的是，主導第二次“革命”主要思想，不同理論之間的對偶性 (請注意這不是我們已提到的散射振幅的對偶性) 已出現於第一次“革命”之前。英國人奧立弗 (Olive) 和芬蘭人曼通寧 (Montonen) 已在1977年就猜測在一種特別的場論中存在電和磁的對稱性。熟悉麥克斯維電磁理論的人知道，電和磁是互為因果的。如果世界上只存在電磁波，沒有人能將電和磁區別開來，所以此時電和磁完全對稱。一旦有了電荷，電場由電荷產生，而磁場則由電流產生，因為不存在磁荷。而在奧立弗及曼通寧所考慮的場論中，存在多種電荷和多種磁荷。奧立弗-曼通寧猜想是，這個理論對於電和磁完全是對稱的。這個猜想很難被直接證明，原因是雖然磁荷存在，它們卻以一種極其隱蔽的方式存在：它們是場論中的所謂孤子解。在經典場論中證明這個猜想已經很難，要在量子理論中證明這個猜想是難上加難。儘管如此，人們在1994年前後已收集到很多這個猜想成立的證據。狄拉克早在1940年代就已證明，量子力學要求，電荷和磁荷的乘積是一個常數。如果電荷很小，則磁荷很大，反之亦然。在場論中，電荷決定了相互作用的強弱。如果電荷很小，那么場論是弱耦合的，這種理論通常容易研究。此時磁荷很大，也就是說從磁理論的角度來看，場論是強耦合的。奧立弗-曼通寧猜想蘊涵著一個不可思議的結果，一個弱耦合的理論完全等價於一個強耦合的理論。這種對偶性通常叫做強弱對耦。
有許多人對發展強弱對偶作出了貢獻。值得特別提出的是印度人森(Ashoke Sen)。 1994年之前，當大多數人還忙於研究弦論的一種玩具模型，一種生活在兩維時空中的弦，他已經在嚴肅地檢驗15年前奧立弗和曼通寧提出的猜測，並將其大膽地推廣到弦論中來。這種嘗試在當時無疑是太大膽了，只有很少的幾個人覺得有點希望，史瓦茲是這幾個人之一。要了解這種想法是如何地大膽，看看威頓的反應。一個在芝加哥大學做博士後研究員的人在一個會議上遇到威頓。威頓在作了自我介紹後問他-這是威頓通常作法-你在做什麼研究，此人告訴他在做強弱對偶的研究，威頓思考一下之後說：“你在浪費時間”。
另外一個對對偶性做出很大貢獻的人是洛特格斯大學(RutgersUniversity) 新高能物理理論組的塞伯格 （Nathan Seiberg）。他也是1989～1992之間研究兩維弦論又叫老的矩陣模型非常活躍的人物之一。然而他見機較早，回到矩陣模型發現以前第一次超弦革命後的遺留問題之一，超對稱及超對稱如何破壞的問題。這裡每一個專業名詞都需要整整一章來解釋，我們暫時存疑留下每一個重要辭彙在將來適當的時候再略加解釋。弦論中超對稱無處不在，如何有效地破壞超對稱是將弦論與粒子物理銜接起來的最為重要的問題。塞伯格在1993～1994之間的突破是，他非常有效地利用超對稱來限制場論中的量子行為，在許多情形下獲得了嚴格結果。
這些結果從量子場論的角度來看幾乎是不可能的。
科學史上最不可思議的事情之一是起先對某種想法反對最烈或懷疑最深的人後來反而成為對此想法的發展推動最大的人。威頓此時成為這樣的人，這在他來說不是第一次也不是最後一次。所謂塞伯格-威頓理論將超對稱和對偶性結合起來，一下子得到自有四維量子場論以來最為動人的結果。這件事發生在1994年夏天。塞伯格飛到當時正在亞斯本（Aspen）物理中心進行的超對稱講習班傳播這些結果，而他本來並沒有計畫參加這個講習班。
紐約時報也不失時機地以幾乎一個版面報導了這個訊息。這是一個自第一次弦論革命以來近十年中的重大突破。這個突破的感染力慢慢擴散開來，大多數人的反應是從不相信到半信半疑，直至身不由己地捲入隨之而來的量子場論和弦論長達4年的革命。很多人記得從94年夏到95年春，洛斯阿拉莫斯 hep-th 專門張貼高能物理理論文的電子“檔案館”多了很多推廣和套用塞伯格-威頓理論的文章，平淡冷落的理論界開始復甦。塞伯格和威頓後來以此項工作獲得1998年度美國物理學會的海因曼獎。
真正富於戲劇性的場面發生在次年的三月份。從八十年代末開始，弦的國際研究界每年召開為期一個星期的會議。會議地點每年不盡相同，第一次會議在德克薩斯A&M大學召開。九三年的會議轉到了南加州大學。威頓出人意料地報告了他的關於弦論對偶性的工作。在這個工作中他系統地研究了弦論中的各種對偶性，澄清過去的一些錯誤的猜測，也提出一些新的猜測。他的報告震動了參加會議的大多數人，在接著的塞伯格的報告中，塞伯格在一開始是這樣評價威頓的工作的：“與威頓剛才報告的工作相比，我只配做一個卡車司機”。然而他報告的工作是關於不同超對稱規範理論之間的對偶性，後來被稱為塞伯格對偶，也是相當重要的工作。史瓦茲在接著的報告中說：“如果塞伯格只配做卡車司機，我應當去搞一輛三輪車來”。他則報告了與森的工作有關的新工作。
95年是令弦論界異常興奮的一年。一個接一個令人大開眼界的發現接踵而來。施特勞明格 (Andrew Strominger) 在上半年發現塞伯格－威頓94年的結果可以用來解釋超弦中具有不同拓撲的空間之間的相變，從而把看起來完全不同的“真空”態連結起來。他用到一種特別的孤子，這種孤子不是完全的點狀粒子，而是三維的膜。威頓95年三月份的工作中，以及兩個英國人胡耳 (Chris Hull)和湯生 (Paul Townsend) 在94年夏的工作中，就已用到各種不同維數的膜來研究對偶性。這樣，弦論中所包含的自由度遠遠不止弦本身。
弦論與宇宙學
摘要
本文簡介近來宇宙學理論發展中與弦論有關的一些想法。
一、前言
弦論(string theory)[1]的發展在物理學中是比較奇特的。發展弦論的主要目標，是要建立一個重力的量子理論。除了弦論之外，另一個比較出名的量子重力理論是Ashtecker的loop gravity。而弦論和其他理論不同之處，是它也要去統一所有其他已知的物理。 需要考慮重力場的量子力學的現象其實不多，目前也沒有直接可以與量子重力理論比較的實驗結果。所以弦論的發展並不像傳統物理的發展，通常是先有現象觀測或實驗結果，才試圖建立理論。至今弦論的發展，主要是理論上的需要。 目前在地球上進行的高能實驗，雖然都是量子現象，但因能量還不夠高，重力作用的影響太小，還量不到。真的需要量子重力學(如弦論)的現象，最主要的例子有兩個，即黑洞和早期的宇宙。隨著天文觀測的進展，我們希望很快可以直接檢驗這些量子重力理論。 過去的弦論研究中，有關黑洞的討論很多，最近才開始有越來越多有關早期宇宙的研究。這個現象一方面是因為早期宇宙的研究比黑洞更複雜，另方面也因為宇宙學的知識一直到近來才有大量的天文觀測的數據支持，因而有比較好的基礎。 對弦論來說，如前所述，很難在地球上實驗驗證；但如果能從弦論中推出早期宇宙的模型，可能是弦論被驗證最好的機會。相對地，宇宙學的理論，如果不是被包含於高能理論與量子重力理論之內，而是獨立於其他物理之外，則很難完全被物理學家接受。因此我們也希望弦論可以為宇宙模型提供理論上的基礎。
二、與弦論有關的宇宙學問題
宇宙學中的標準模型，可以用已知的粒子物理學為基礎，解釋nucleosynthesis及之後所發生的大多現象；nucleosynthesis時的宇宙狀態大致是確定的。前面所說的"早期宇宙"，指的是nucleosynthesis之前的宇宙。 有關早期宇宙的模型，目前最受歡迎的是inflation。Inflation指的是宇宙以大於零的加速度膨脹極大的倍數。在這類模型之中，inflation之後宇宙才進入nucleosynthesis的狀態。而inflation之前的宇宙是什麼樣子，則是眾說紛紜。Inflation還不算是完全被驗證接受的理論，但已有不少觀測上的證據。
Inflation的模型，及其他的早期宇宙模型，通常是用廣義相對論及量子場論作基礎的。雖然嚴格來說，廣義相對論(古典的重力理論)與量子場論並不相容，應該用弦論或其他的量子重力理論才對；但是一些簡單的估算似乎並不需要完整的理論，而是可以靠物理直觀，在適當的情形中運用適當的理論就可以了。這就是為什麼這些模型可以不依賴量子重力理論而直接與天文觀測比較。(最後一節會提到可能的例外情況。)
當然，也有一些問題是需要完整的量子重力理論才能回答的，這時弦論就應該可以派上用場了。例如，為什麼會有inflation 發生inflation的可能性有多大 inflation之前的宇宙是什麼樣子(初始條件) 但可惜我們目前對弦論的了解還不夠，還不能清楚的指出弦論中的宇宙到底長什麼樣子。近幾年弦論研究的主流，就是朝這個方向努力。 另一方面，如果弦論是對的，一個完整的宇宙學模型還必須包括許多新的內容，例如:多出來的空間維度如何隨時間演變或如何保持穩定 會不會有弦或D-brane在宇宙早期被產生之後留下蹤跡 直到目前，弦論引入宇宙的問題比它解決的問題多的多——不過這些問題也是對宇宙有一個完整的了解之前所必須回答的問題。畢竟物理的不同領域不可能被視為完全獨立的。
三、弦論中和宇宙學有關的想法
雖然我們還不能從弦論中讀出早期宇宙的秘密，但是弦論的一些基本性質，已經影響了物理學家建構宇宙模型時的思考方向。以下我們舉幾個比較重要的例子。
1。Extra dimensions
超弦理論需要9維空間和1維時間，雖然違反了常識，但不是不可能，而且有不只一種可能。第一類可能性屬於Kaluza-Klein理論。Kaluza-Klein理論指的是超過三維空間的理論，其中多出來的空間維度，因為縮的太小了，我們感覺不到。通常我們感覺的到的空間維度，似乎是無限延伸到無限遠的直線(其實也沒人知道是不是真的無限)，如何能縮的很小呢 多出來的空間必須是compact space，才能縮的很小。例如一個圓圈，和直線一樣是一維空間，但是可以縮的很小，小到看起來幾乎像是一個點(零維空間)。在弦論中，所有空間的形狀及大小都是物理變數，需要由理論(及初始條件)決定他們隨時間變化的情形。根據Brandenberger和Vafa的說法[2]，如果假設宇宙早期每一個空間維度都是一個圓圈，弦論中因為有弦，宇宙膨脹之後最可能的狀態，就是只有三維大的(看起來像直線的)空間。另一種可能必須要等到下面介紹了D-brane之後才能解釋。
2。Extended objects
弦論中的弦是具有一維空間的東西。弦論中除了弦，還有各種不同維度的D-brane。空間上有p維的D-brane被稱作Dp-brane。D-brane的特徵是它的表面上可以附著一種弦，這些弦(線段)的端點離不開D-brane，只能在D-brane上滑動。這些弦的其他部分可以離開D-brane，但是因為弦的張力很大，大部分的時候這些弦看起來都像D-brane上的粒子。我們還沒看到多出來的六維空間的另一種可能，就是我們世界裡大部分的東西(如光，電子，夸克等)都是由D3-brane上的這種弦所構成，所以所有的運動都被限制在三維空間中。唯一一定可以離開D-brane的東西是重力作用(時空的彎曲)，但是重力作用很弱，實驗上的限制較小。前面所說的Kaluza-Klein理論中縮的很小的空間，他們的大小必須小於1/TeV才能不被所有的已知實驗探測到。但是如果只有重力可以被用來探測這些維度，則其大小只需比厘米小一兩個數量級而已[3]。事實上，多出來的維度甚至有可能是無限延伸的，我們需要的是空間在它們延伸的方向上適當的彎曲，使D-brane附近的重力場擾動不容易傳太遠。
3。Large moduli space
弦論的一個特色是變數極多[4]。前面提到它九維空間的形狀大小都是完全由弦論中的變數控制。除此之外，弦論中弦的互動作用強度大小，及各種規範場的背景值，都是理論中的變數。宇宙演化時，這些變數也可能一同演變。最大的問題是，他們的初始條件是什麼。根據我們現在對弦論的了解，看不出有什麼原因宇宙的初始條件是唯一的；事實上看起來有無限多的可能。弦論因此似乎無法唯一地決定為何我們的宇宙長這個樣子。有人因此開始採取不同的態度看這個問題。比如，有些人試著計算各種宇宙狀態出現的機率，希望看起來和我們的宇宙相像的宇宙出現的機率比較大。另一些人試著引入弦論以外的原理，如人擇原理(anthropic principle)等[5]。
4。Singularity
廣義相對論中的時空常有奇點。如果把膨脹中的宇宙推回到時間的上游，會碰到一個奇點。古典理論中時空的奇點代表理論失效的地方，但並不代表量子重力理論也會失效。弦論中常發生的情形是，古典的時空描述有奇點，但弦論本身在奇點處仍保持有效。一個有趣的例子是圓圈的T-duality。假設有一維空間是一個圓圈，半徑為R。(重點並不是它是圓的，而是它的周期性邊界條件。)一根弦在圓圈上的基本狀態可以有兩種:一種是弦纏繞在圓圈上，纏n圈；另一種是它繞著圓圈跑，動量為p。如果弦的張力為T，纏n圈對能量的貢獻為2πnRT。而根據量子力學，p = m/R，其中m為整數。如果交換這兩種狀態(m ←→ n)，並同時將半徑改為1/2πTR，整個理論看起來不變。在古典的描述中，當R趨近為零時，空間是一奇點；但在弦論中這顯然不是奇點，因為根據上面的說法，R趨近零等同於R趨近於無限大!
四、結論
雖然弦論十分複雜，使我們還很難從它得到關於宇宙學(或其他較容易觀測到的物理現象)的確實描述(就好像我們很難從量子色動力學中推出核子物理的性質)，但是弦論已經提供了許多新的想法，刺激了宇宙學的發展。 然而，除了刺激新的宇宙模型的建立之外，如果希望弦論真的在宇宙學方面有實質上重要的影響，我們還需要對弦論及宇宙學同時多下些苦工才行。特別是如果我們希望弦論(或任何新的理論)對inflation的理論能有不久之後就可以測量到的影響，是很困難的，因為inflation的一個性質就是它對許多細節不太敏感(這也是許多人喜歡它的原因之一)。一般來說，不管是不是弦論，現在看起來比較容易觀察到新的物理理論的影響的辦法，是去測量宇宙背景輻射(cosmic microwave background radiation)中非高斯分布的程度(non-Gaussianity)。
另一種較特別的可能，是新的理論像弦論一樣，有所謂的UV-IR connection，這是指理論中極大尺度的物理和極小尺度的物理之間有一種特殊的關係。所以不只高能量，小尺度的物理被新的理論修正，連低能量，大尺度的物理也同時有所改變。不過我們還不太清楚弦論這個性質在一般時空中的具體描述；事實上，目前我們對一般的隨時間變化的空間中的弦論了解極少，這是把弦論運用在宇宙學上最大的阻礙。宇宙學對弦論發展的影響，就是它使弦論學家近幾年以來，將如何描述隨時間變化的背景中的弦論，視為最主要的問題之一。弦論和宇宙論都屬於還未定型前的發展階段，雙方的發展方向應該是要試著建立關係，近幾年來弦論學家和宇宙學家的對話越來越多，這種努力應該也會對兩者分別的發展都有所幫助。
參考資料：
[1] Superstring Theory, Green, Schwarz, Witten (Cambridge); String Theory, Polchinski (Cambridge).
[2] SUPERSTRINGS IN THE EARLY UNIVERSE, Brandenberger, Vafa, Nucl. Phys. B 316, 391 (1989).
[3] THE HIERARCHY PROBLEM AND NEW DIMENSIONS AT A MILLIMETER, Arkani-Hamed,Dimopoulos,Dvali, Phys. Lett. B 429, 263-272 (1998).
[4] Susskind''s talk at String Cosmology Conference at KITP, Santa Barbara
[5] Dimopoulos's and Vilenkin's talks at String Cosmology Conference at KITP, Santa Barbara
作者簡介
賀培銘於1989年從台大電機系畢業,於1996年從美國加州大學柏克萊分校物理系獲得博士學位.接著在美國猶他大學從事博士後研究,於1997年赴普林斯頓大學訪問,並於1998年到台大物理系服務,於2001年升任副教授至今.專長為弦論,數學物理.
物理雙月刊(廿五卷六期)2003年12月
弦論公式
弦論公式：B(x,y)=(Sλ)о(hy)x-4(λ-t)y-λ(dt)
弦—霍金膜上的量子力學詮釋
類似10維或11維的“弦論”＝振動的弦、震盪中的象弦一樣的微小物體。
霍金膜上四維世界的量子理論的近代詮釋（鄧宇等，80年代）：
振動的量子（波動的量子＝量子鬼波）＝平動微粒子的振動；振動的微粒子；震盪中的象量子（粒子）一樣的微小物體。
波動量子＝量子的波動＝微粒子的平動+振動
＝平動+振動
＝矢量和
量子鬼波的DENG'S詮釋：微粒子（量子）平動與振動的矢量和
粒子波、量子波＝粒子的震盪（平動粒子的震動）
超弦理論
物理學家一直認為自然界有對稱,例如虧子與輕子也是三族,又或正反粒子,CPT守衡等等.但物理界並不如我們所想般對稱,如CP不守衡,而最大之不對稱(asymmetry)是費米子及玻色子之自旋性,費米子要自旋兩個圈才可見回原本景象,而玻色子只需自旋一個圈.
物理學家建立了N=8的超對稱理論(Supersymmetry / SUSY)統一費米子與玻色子,那是認為這個宇宙除了四維之外,還有四維,這個八維宇宙叫超空間(superspace),然而這額外的四維不可被理解為時間抑或空間,八維宇宙是由費米子居住,物質可透過自旋由四維空間轉入費米子居住之八維,又可由八維轉回四維,即玻色子可換成費米子,費米子可轉換成玻色子,它們沒有分別,我們之所以看到它們自旋不同只不過是我們局限於四維而看不到八維的一個假象.
我打個譬喻,你在地球上只會感同到三維(上下前後左右),我們雖然知道時間之存在,然而我們眼睛看不到,眼睛只幫我們分析三維系統,然而有可能這個世界是八維,而因為眼睛只可分辨三維而你無法得知.
科學家稱這些一對之粒子為超對稱夥伴(supersymmetric partner),如重力微子(gravitino),光微子(photino),膠微子(gluino),而費米子之夥伴叫超粒子(sparticle),只不過是在費米子前面加一個s,如超電子(selectron).可是我們知道費米子無論怎樣轉也轉不出玻色子,亦沒有發現費米子或玻色子轉出來的超對稱夥伴,例如電子就不是由任何已知玻色子轉出來,假如每一玻色子或費米子都有其超對稱夥伴,世界上之粒子數將會是現在的兩倍.
有認為超對稱夥伴質量比原本粒子高很多倍,只存在於高能量狀態,我們處於安靜宇宙是不能夠被看見,只有在極稀有的情形下,超對稱夥伴會衰變成普通的費米子及玻色子,當然我們尚未探測到超對稱夥伴,否則就鬨動囉!
然而在超對稱理論背後,弦理論(strange theory)正慢慢崛起,它也是為了統一費米子玻色子.弦理論認為這個世界無論玻色子抑或費米子都是由一樣東西－弦(string)所組成,弦就像一條繩子,不過事實上它們真的太小向前地,故它們形成粒狀的粒子
弦論的未來
布賴恩·格林（Brian Greene）訪談
過去一談到弦論，人們就感到頭暈腦脹，就算是弦論專家也煩惱不已；而其他物理學家則在一旁嘲笑它不能做出實驗預測；普通人更是對它一無所知。科學家難以同外界說明為什麼弦論如此刺激：為什麼它有可能實現愛因斯坦對大統一理論的夢想，為什麼它有助於我們深入了解“宇宙為何存在”這樣深奧的問題。然而從1990年代中期開始，理論開始在觀念上統合在一起，而且出現了一些可檢驗但還不夠精確的預測。外界對弦論的關注也隨之升溫。今年7月，伍迪·艾倫在《紐約人》雜誌的專欄上以嘲弄弦論為題材——也許這是第一次有人用“卡拉比-丘”空間理論來談論辦公室戀情。
談到弦論的普及，恐怕沒有人能比得上布賴恩·格林。他是哥倫比亞大學的物理學教授，也是弦論研究的一員大將。
他於1999年出版的《優雅的宇宙》（The Elegant Universe）一書在《紐約時報》的暢銷書排行榜上名列第四，併入圍了普利茲獎的最終評選。格林是美國公共電視網Nova系列專輯的主持人，而他近期剛剛完成了一本關於空間和時間本質的書。《科學美國人》的編輯George Musser最近和格林邊吃細弦般的意大利麵邊聊弦論，以下是這次“餐訪”的紀要。
SA：有時我們的讀者在聽到“弦論”或“宇宙論”時，他們會兩手一攤說：“我永遠也搞不懂它。”
格林：我的確知道，人們在一開始談到弦論或者宇宙論時會感到相當的吃力。我和許多人聊過，但我發現他們對於這些概念的基本興趣是那么的廣泛和深刻，因此，比起其他更容易的題材，人們願意在這方面多花點心思。
SA： 我注意到在《優雅的宇宙》一書中，你在很多地方是先扼要介紹物理概念，然後才開始詳細論述。
實現突破與否，往往就取決於一點點洞察力
格林：我發現這個法子很管用，尤其是對於那些比較難懂的章節。這樣一來讀者就可以選擇了：如果你只需要簡要的說明，這就夠了，你可以跳過底下比較難的部分；如果你不滿足，你可以繼續讀下去。我喜歡用多種方式來說明問題，因為我認為，當你遇到抽象的概念時，你需要更多的方式來了解它們。從科學觀點來看，如果你死守一條路不放，那么你在研究上的突破能力就會受到影響。我就是這樣理解突破性的：大家都從這個方向看問題，而你卻從後面看過去。不同的思路往往可以發現全新的東西。
SA： 能不能給我們提供一些這種“走後門”的例子？
格林： 嗯，最好的例子也許是維頓（Edward Witten）的突破。維頓只是走上山頂往下看，他看到了其他人看不到的那些關聯，因而把此前人們認為完全不同的五種弦論統一起來。其實那些東西都是現存的，他只不過是換了一個視角，就“砰”地一下把它們全裝進去了。這就是天才。 對我而言，這意味著一個基本的發現。從某種意義上說，是宇宙在引導我們走向真理，因為正是這些真理在支配著我們所看到的一切。如果我們受控於我們所看到的東西，那么我們就被引導到同一個方向。因此，實現突破與否，往往就取決於一點點洞察力，無論是真的洞察力還是數學上的洞察力，看是否能夠將東西以不同的方式結合起來。
SA： 如果沒有天才，你認為我們會有這些發現嗎？
格林：嗯，這很難說。就弦論而言，我認為會的，因為裡面的謎正在一點一點地變得清晰起來。也許會晚5年或10年，但我認為這些結果還是會出現。不過對於廣義相對論，我就不知道了。廣義相對論實在是一個大飛躍，是重新思考空間、時間和引力的里程碑。假如沒有愛因斯坦，我還真不知道它會在什麼時候以什麼主式出現。
SA：在弦論研究中，你認為是否存在類似的大飛躍？
格林：我覺得我們還在等待這樣一種大飛躍的出現。弦論是由許多小點子匯集而成的，許多人都做出了貢獻，這樣才慢慢連結成宏大的理論結構。但是，高居這個大廈頂端的究竟是怎么樣的概念？我們現在還不得而知。一旦有一天我們真的搞清楚了，我相信它將成為閃耀的燈塔，將照亮整個結構，而且還將解答那些尚未解決的關鍵問題。
相對論是對時間和空間重新思考的里程碑，我們正在等待另一次這樣的飛躍
SA：讓我們來談談環量子理論與其他一些理論。你總是說弦論是唯一的量子引力論，你現在還這么認為嗎？
格林：呃，我認為弦論是目前最有趣的理論。平心而論，近來環量子引力陣營取得了重大的進展。但我還是覺得存在很多非常基本的問題沒有得到解答，或者說答案還不能令我滿意。但它的確是個可能成功的理論，有那么多極有天賦的人從事這項研究，這是很好的事。我希望，終究我們是在發展同一套理論，只是所採用的角度不同而已，這也是施莫林（Lee Smolin）所鼓吹的。在通往量子力學的路上，我們走我們的，他們走他們的，兩條路完全有可能在某個地方相會。因為事實證明，很多他們所長正是我們所短，而我們所長正是他們所短。弦論的一個弱點是所謂的背景依賴（background-dependent）。我們必須假定一個弦賴以運動的時空。也許人們希望從真正的量子引力論的基本方程中能導出這樣一個時空。他們（環量子引力研究者）的理論中的確有一種“背景獨立”的數學結構，從中可以自然地推導出時空的存在。從另一方面講，我們（弦論研究者）可以在大尺度的結構上，直接和愛因斯坦廣義相對論連線起來。我們可以從方程式看到這一點，而他們要和普通的引力相連線就很困難。這樣很自然地，我們希望把兩邊的長處結合起來。
SA：在這方面有什麼進展嗎？
格林：很緩慢。很少有人同時精通兩邊的理論。兩個體系都太龐大，就算你單在你的理論上花一輩子時間，竭盡你的每一分每一秒，也仍然無法知道這個體系的所有進展。但是現在已經有不少人在沿著這個方向走，思考著這方面的問題，相互間的討論也已經開始。
SA：如果真的存在這種“背景依賴”，那么要如何才能真正深刻地理解時間和空間呢？
格林：嗯，我們可以逐步解決這個難題。比如說，雖然我們還不能脫離背景依賴，我們還是發現了鏡像對稱性這樣的性質，也說是說兩種時空可以有相同的一套物理定律。我們還發現了時空的拓撲變化：空間以傳統上不可置信的方式演化。我們還發現微觀世界中起決定作用的可能是非對易幾何，在那裡坐標不再是實數，坐標之間的乘積取決於乘操作的順序。這就是說，我們可以獲得許多關於空間的暗示。你會隱約在這時看見一點，那裡又看見一點，還有它們底下到底是怎么一回事。但是我認為，如果沒有“背景獨立”的數學結構，將很難把這些點點滴滴湊成一個整體。
SA：鏡像對稱性真是太深奧了，它居然把時空幾何學和物理定律隔離開來，可過去我們一直認為這二者的聯繫就是愛因斯坦說的那樣。
格林：你說的沒錯。但是我們並沒有把二者完全分割開來。鏡像對稱只是告訴你遺漏了事情的另一半。幾何學和物理定律是緊密相連的，但它就像是一副對摺開的地圖。我們不應該使用物理定律和幾何學這個說法。真正的應該是物理定律與幾何-幾何，至於你願意使用哪一種幾何是你自己的事情。有時候使用某一種幾何能讓你看到更多深入的東西。這裡我們又一次看到，可以用不同的方式來看同一個物理系統：兩套幾何學對應同一套物理定律。對於某些物理和幾何系統來說，人們已經發現只使用一種幾何學無法回答很多數學上的問題。在引入鏡像對稱之後，我們突然發現，那些深奧無比的問題一下子變得很簡單了。
理論上可以導出許多不同的宇宙，其中我們的宇宙似乎是唯一適合我們生存的
SA：弦論以及一般的現代物理學，似乎逼近一個非如此不可的邏輯結構；理論如此發展是因為再無他路可走。一方面，這與“人擇”的方向相反；但是另一方面，理論還是有彈性引導你到“人擇”的方向。
格林：這種彈性是否存在還不好說。它可能是我們缺乏全面理解而人為造成的假像。不過以我目前所了解的來推斷，弦論確實可以導出許多不同的宇宙。我們的宇宙可能只是其中之一，而且不見得有多么特殊。因此，你說得沒錯，這與追求一個絕對的、沒有商量餘地的目標是有矛盾的。
置身於弦宇宙，時空可能像這樣：另有6維捲曲在所謂的“卡拉比-丘空間”內
SA：如果有研究生還在摸索，你如何在方向上引導他們？
格林：嗯，我想大的問題就是我們剛才談到的那些。我們是否能窮究時間和空間的來源？我們能否搞清楚弦論或M理論的基本思想？我們能否證明這個基本思想能導出一個獨特的理論？這個獨特理論的獨特解，也就是我們所知的這個世界？有沒有可能藉助天文觀測或加速器實驗來驗證這些思想？ 甚至，我們能不能回過頭來，了解為什麼量子力學必然是我們所知世界不可或缺的一部分？任何可能成功的理論在其深層都得依賴一些東西：比如時間、空間、量子力學等，這其中有哪些是真正關鍵的，有哪些是可以省略掉仍能導出與我們世界相類似的結果？
物理學是否有可能走另一條路，雖然面貌完全不同，但卻能夠解釋所有的實驗？我不知道，但是我覺得這是個很有意思的問題。從數據和數學邏輯出發，有多少我們認為基本的東西是唯一可能的結論？又有多少可以有其他可能性，而我們不過是恰恰發現了其中之一而已？在別的星球上的生物會不會有與我們完全不同的物理定律，而那裡的物理學與我們一樣成功？
