平行軸定理

平行軸定理（parallel axis theorem）能夠很簡易地，從剛體對於一支通過質心的直軸（質心軸）的轉動慣量，計算出剛體對平行於質心軸的另外一支直軸的轉動慣量。

基本介紹

• 中文名：平行軸定理
• 外文名：parallel axis theorem
• 提出者：雅各·史丹納
• 相關術語：垂直軸定理
• 套用：套用於面積二次矩
• 套用學科：物理學、數學

定義

平行軸定理（英語：parallel axis theorem）能夠很簡易地，從剛體對於一支通過質心的直軸（質心軸）的轉動慣量，計算出剛體對平行於質心軸的另外一支直軸的轉動慣量。

讓 代表剛體對於質心軸的轉動慣量、M代表剛體的質量、d代表另外一支直軸 z'-軸與質心軸的垂直距離。那么，對於 z'-軸的轉動慣量是

。

平行軸定理、垂直軸定理、伸展定則，這些工具都可以用來求得許多不同形狀的物體的轉動慣量。

平行軸定理也可以套用於面積二次矩（面積慣性矩）：

；

這裡， 是對於 z-軸的面積慣性矩、 是對於平面質心軸的面積慣性矩、A是面積、d是 z-軸與質心軸的垂直距離。

因雅各·史丹納(Jakob Steiner) 而命名，史丹納定理所指的幾個理論，其中一個理論就是平行軸定理。

設通過剛體質心的軸線為Z軸，剛體相對於這個軸線的轉動慣量為J_c。如果有另一條軸線Z‘與通過質心的軸線Z平行，那么，剛體對通過Z‘軸的轉動慣量為 J=J_c+md²。

式中m為剛體的質量，d為兩平行軸之間的距離。

上述關係叫做轉動慣量的平行軸定理。

進階理論

平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的坐標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的坐標系統。

對於三維空間中任意一參考點 Q 與以此參考點為原點的直角坐標系Qxyz ，一個剛體的慣性張量 是

。

這裡，對角元素 分別為對於 x-軸、y-軸、z-軸的慣性矩。設定 為微小質量 對於點 Q 的相對位置。則這些慣性矩，可以精簡地用方程定義為

，

，

。

而非對角元素，稱為慣性積, 可以定義為

，

，

。

假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量 ，質心 G 的位置是 ，則剛體對於原點 O 的慣性張量 ，依照平行軸定理，可以表述為

，

，

，

，

，

。

實例

思考一個實心長方體對於質心 G 的慣性張量，

質心 G 的位置是。依照平行軸定理，實心長方體對於點 O 的慣性矩與慣性積分別為

、

、

、

、

、

。

因此，實心長方體對於點 O 的慣性張量是: