施泰納定理

施泰納定理（Steiner theorem），也稱為平行軸定理，通過物體的重心和軸線之間的垂直距離在平行軸上的轉動慣量，可用於確定給定剛體的質量慣性矩或面積的二次矩。

基本介紹

• 中文名：施泰納定理
• 外文名：Steiner theorem
• 別稱：平行軸定理
• 套用：剛體動力學

質量慣性矩

假設質量體 圍繞穿過身體重心軸 旋轉，主體相對於該軸具有 的慣性矩。施泰納定理指出，如果主體圍繞與第一軸平行並且偏離距離 的新軸 旋轉，則慣性矩 相對於新軸是與 通過下式相關：

顯然， 是軸 和 之間的垂直距離。如圖1所示，圍繞軸的質量體的慣性矩可以由圍繞穿過質心的平行軸的質量慣性矩確定。

施泰納定理可以套用拉伸規則和垂直軸定理來找到各種形狀的慣性矩。

圖1.質量慣性矩

推導

在一般性的情況下，假設在笛卡爾坐標系中，軸之間的距離垂直於 軸，並且質心位於原點。相對於 軸的慣性矩是

相對於軸 的慣性矩是沿著 軸與質心的垂直距離 ，

括弧內擴展產生

第一項是 ；第二項是 ；最後一項的積分是質心 坐標的倍數，由於質心位於原點，因此為零。因此，等式變為：

面積慣性矩

施泰納定理也適用於平面區域 的面積的第二矩（面積慣性矩）：

其中是相對於平行軸的面積慣性矩，是相對於其質心的面積慣性矩，是平面區域的面積，是距離新的距離軸到平面區域的質心。的質心與具有相同密度的相同形狀的物理板的重心重合。

相關術語

• 垂直軸定理
  
• 平行軸定理
  
• 慣性矩