Cholesky 分解是把一個對稱正定的矩陣表示成一個下三角矩陣L和其轉置的乘積的分解。它要求矩陣的所有特徵值必須大於零，故分解的下三角的對角元也是大於零的。Cholesky分解法又稱平方根法，是當A為實對稱正定矩陣時，LU三角分解法的變形。
基本介紹
- 中文名：cholesky分解
- 又稱：平方根法
- 相關：當A為實對稱正定矩陣時
- 變形：LU三角分解法的變形
重要性質,證明方式,分解定義,遞推公式,
重要性質
1.若A對稱正定，則
亦對稱正定，且
>0；
2.A的順序主子陣
亦對稱正定；
3.A的特徵值λi>0；
4.A的全部順序主子式det（）>0。（A能夠作Cholesky分解的充要條件）
證明方式
設A=
>0，則A的所有順序主子式為正
矩陣A存在Doolittle分解：A=L1U
易證=
，i=1,2,...,n
其中di（i=1,...,n）為U的主對角元素，且有
di>0，i=1,2,...,n
記D=diag（d1,d2,...,dn）
A^T=A，(L1U)^T=L1U，U^T(L1)^T=L1U
(D^(-1)U)^TD(L1)^T=L1D(D^(-1)U)
(L1)^T(D^(-1)U)^(-1)=D^(-1)(U^(-1)D)^TL1D
D^(-1)U=(L1)^T，A=L1D(L1)^T，A=L1D^(1/2)D^(1/2)(L1)^T
A=(L1D^(1/2))(L1D^(1/2))^T
即
A=LL^T
分解定義
如果矩陣A為n階對稱正定矩陣，則存在一個對角元素為正數的下三角實矩陣L，使得：
當限定L的對角元素為正時，這種分解是唯一的，稱為Cholesky分解。在Matlab中，Cholesky分解由函式chol實現，該函式要求輸入的矩陣是正定的。
遞推公式
