cholesky分解(平方根法)

cholesky分解

平方根法一般指本詞條

Cholesky 分解是把一個對稱正定的矩陣表示成一個下三角矩陣L和其轉置的乘積的分解。它要求矩陣的所有特徵值必須大於零,故分解的下三角的對角元也是大於零的。Cholesky分解法又稱平方根法,是當A為實對稱正定矩陣時,LU三角分解法的變形。

基本介紹

  • 中文名:cholesky分解
  • 又稱平方根法
  • 相關:當A為實對稱正定矩陣時
  • 變形:LU三角分解法的變形
重要性質,證明方式,分解定義,遞推公式,

重要性質

1.若A對稱正定,則
亦對稱正定,且
>0;
2.A的順序主子陣
亦對稱正定;
3.A的特徵值λi>0;
4.A的全部順序主子式det(
)>0。(A能夠作Cholesky分解的充要條件)

證明方式

設A=
>0,則A的所有順序主子式為正
>0, i=1,2,...,n
矩陣A存在Doolittle分解:A=L1U
易證
=
,i=1,2,...,n
其中di(i=1,...,n)為U的主對角元素,且有
di>0,i=1,2,...,n
記D=diag(d1,d2,...,dn)
A^T=A,(L1U)^T=L1U,U^T(L1)^T=L1U
(D^(-1)U)^TD(L1)^T=L1D(D^(-1)U)
(L1)^T(D^(-1)U)^(-1)=D^(-1)(U^(-1)D)^TL1D
D^(-1)U=(L1)^T,A=L1D(L1)^T,A=L1D^(1/2)D^(1/2)(L1)^T
A=(L1D^(1/2))(L1D^(1/2))^T
A=LL^T

分解定義

如果矩陣A為n階對稱正定矩陣,則存在一個對角元素為正數的下三角實矩陣L,使得:當限定L的對角元素為正時,這種分解是唯一的,稱為Cholesky分解。在Matlab中,Cholesky分解由函式chol實現,該函式要求輸入的矩陣是正定的。

遞推公式

cholesky分解

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