帕普斯定理

帕普斯(Pappus)定理，指的是直線l1上依次有點A,B,C，直線l2上依次有點D,E,F，設AE,BD交於P，AF,DC交於Q，BF,EC交於R，則P,Q,R共線。

設U，V，W，X，Y和Z為平面上六條直線。如果： （1）U與V的交點，X與W的交點，Y與Z的交點共線，且 （2）U與Z的交點，X與V的交點，Y與W的交點共線， 則（3）U與W的交點，X與Z的交點，Y與V的交點共線。這個定理叫做帕普斯定理。

基本介紹

• 中文名：帕普斯定理
• 外文名：Pappus's theorem
• 提出者：帕普斯
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：計算機， 繪圖，幾何
• 適用領域範圍：射影幾何

定理定義

帕普斯(Pappus)定理:如圖，直線l1上依次有點A,B,C，直線l2上依次有點D,E,F，設AE,BD交於P，AF,DC交於Q，BF,EC交於R，則P,Q,R共線。

驗證推導

證明方法1

證明方法1

（證明過程見右圖）

證明方法2

利用布列安桑定理及其逆定理證明：

如圖，一直線上三點A、B、C，另一直線上三點D、E、F，AE∩BD=M，AF∩DC=N，BF∩EC=O

證明方法2

延長MO至P，由布列安桑逆定理知六邊形PCBMEF內切圓錐曲線，由凹六邊形AMDFPC及其內切圓錐曲線的布列安桑定理知對角線AF∩DC∩MP=N，則M、N、O共線，帕普斯定理得證。

對偶命題

由兩點A，B各出發三條射線，A1，A2，A3；B1，B2，B3，設過A1，B2交點；A2，B1交點的直線為C1，過A2，B3交點；A3，B2交點的直線為C2，過A1，B3交點；A3，B1交點的直線為C3,則C1,C2,C3共點。

該對偶命題仍然可以利用帕普斯定理（幾何變換形態）及笛沙格定理（逆）證明

此定理在圓中依然成立，圓中以任一直徑為界線，直徑兩側分別取A1，A2，A3；B1，B2，B3。連線A1，B2；A1，B3。A2,B1;A2,B3。A3,B1;A3,B2.則A1B2,A2B1交於C1；A1B3，A3B1交於C2；A2B3，A3B2交於C3。且C1,C2,C3共線。

由射影幾何中的對偶原理（此處體現為點線互換）可知，它與帕普斯(Pappus)定理是等價的。

該對偶命題是布利安桑定理的特例。

定理推廣

明顯的，當二次曲線上的帕斯卡定理中二次曲線退化為兩條相交直線（在射影平面中，我們認為平行直線相交於無窮遠點），即為帕普斯(Pappus)定理。