帕斯卡定理

帕斯卡定理指圓錐曲線內接六邊形（包括退化的六邊形）其三對邊的交點共線，與布列安桑定理對偶，是帕普斯定理的推廣。 定理約於公元1639年為法國數學家布萊士·帕斯卡(Blaise Pascal)所發現，被稱為帕斯卡定理，是射影幾何中的一個重要定理。

基本介紹

• 中文名：帕斯卡定理
• 外文名：Pascal's theorem
• 表達式：BG∩EH=Q∈PR
• 提出者：帕斯卡
• 提出時間：公元1639年
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：射影幾何

定理定義

如果一個六邊形內接於一條二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)，那么它的三對對邊的交點在同一條直線上。

由於六邊形的存在多種情況，帕斯卡定理的圖形也存在多種，它們雖然看起來截然不同，但均為帕斯卡定理，證明它們的方法也是相同的

驗證推導

可以利用射影變換，將圓錐曲線的命題轉化為圓的命題

現在只需要證明圓的內接六邊形ABCDEF三雙對邊的交點共線即可

帕斯卡定理的證法有許多種，在此只列舉三種

證法1

面積法：

設AB交DE於G，BC交EF於I，CD交AF於H

面積法

連線GI，設AF交GI於H'(如圖1)，CD交GI於H''(如圖2)

要證G、I、H共線，只需證AF、CD、GI交於一點

現在只需證： ，即證：

共邊定理+共角定理可得：

命題得證

證法2

梅涅勞斯定理證法：

設AF、BC交於J，DE、AF交於K，DE、CB交於L

梅涅勞斯定理證法

對△KLJ和截線AB、CD、EF分別套用梅涅勞斯定理得：

三式相乘得：

......(1)

圓冪定理得：

……(2)

……(3)

……(4)

將(2),(3),(4)式代入(1)得：

梅涅勞斯逆定理得：G、I、H共線，命題得證

證法3

位似證法：

作△CHF外接圓交EF於K、BC於J

∵∠DEF=∠DCF=∠HKF，∴GE∥HK

位似證法

同理可得：HJ∥BG，BE∥KJ

∴△GEB與△HKJ位似

又位似三角形對應點的所在的直線交於一點

即GH、EK、BJ交於一點，此點為I

∴G、H、I共線，命題得證

證法4

角元賽瓦定理證法

利用角元賽瓦定理逆定理證明PR、EF、BC共點（下面推導省去∠符號）

我們有

（第二步為對△ADR用角元賽瓦定理）

因此PR、EF、BC共點，即P、Q、R共線。

塞瓦定理（角元）證法

證法5

射影證法

圓錐曲線（以橢圓為例）上六點A、B、C、D、E、F，AB∩DF=M，AC∩DE=N，CF∩BE=P，求證M、P、N共線

射影證法

在異於題設所在平面的空間上任取一點作為射影中心，將AB、DE射影為一對平行直線；將AC、DF射影為一對平行直線，再將中心射影后圖形中的橢圓仿射為圓O（如右圖）

則由平行四邊形AMDN及同弧圓周角性質知∠BAE=∠FDC，則CF=BE，根據同圓內等弦長對應等圓周角推導知BF//CE，則觀察圖中兩個綠色三角形笛沙格定理（逆）知M、P、N，則帕斯卡定理得證。