布爾乘法亦稱布爾交(記為∩)或布爾合取(記為∧)或布爾積，指布爾代數B=〈B，+，·，′，0，1〉中記為·的二元運算，對任意給定的兩個元素a，b∈B，經乘法運算後得到一個確定的元素d∈B，記為d=a·b，d稱為a，b的布爾積。
基本介紹
- 中文名：布爾乘法
- 外文名：Boolean multidplication
- 別稱：布爾交或布爾合取或布爾積
- 所屬學科：數學（布爾代數）
- 對應門電路：與門電路
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基本介紹
兩個變數的布爾乘法(Boolean multidplication，即ANDing)記為AB，並把它稱為乘積項。三個變數的布爾乘法可以表示為ABC，類似地，可以表示任意多個變數。當然，也可以用其他字母來代替A，B，C。這與常規代數的變數乘法的表示相同。有時在代數表達式中，變數之間會使用圓點(·)來表示乘法，如A·B；有時還會使用圓括弧，如(A)(B)，特別是當表達式中項數很多時。
在元素不多的情形下，常可用列表法確定布爾乘法，下面是含且僅含4個元素的布爾代數的乘法表，表中最左一列表示乘法的第一個元素，最上一行表示乘法的第二個元素，各對應行列交叉處記的是兩者的布爾積。特別，對二元布爾代數，其布爾乘法若且唯若兩個元素a，b∈B都是1時，a·b才是1，否則a·b是0(參見“二元布爾代數”)。
圖1布爾乘法的運算律
下面的運算律也稱為布爾代數的運算律。
布爾代數的運算律是布爾代數的基本運算法則，布爾代數〈B，+，·，′，0，1〉有如下運算律，對B中任意元素a，b，c，有：
1.結合律：(a+b)+c=a+(b+c) ，
(a·b)·c=a·(b·c).
2.交換律：a+b=b+a， a·b=b·a.
3.分配律：a·(b+c)=(a·b)+(a·c)，
a+(b·c)=(a+b)·(a+c).
4.吸收律：a+a·b=a， a·(a+b)=a.
5.冪等律：a+a=a， a·a=a.
6.德·摩根律(反演律)：(a+b)′=a′·b′，
(a·b)′=a′+b′.
7.對合律(雙重否定律)：(a′)′=a.
8.互補律：a+a′=1， a·a′=0.
9.零一律(麼元律)：a+0=a， a·1=a.
10.囿元律(極元律)：a+1=1， a·0=0.
布爾乘法和與門電路
圖2與門的布爾表達式
（1）2輸人與門運算的布爾代數表達式為：
為了計算X=AB，先看看該式是如何描述與門運算的，將1或0代人每個變數。兩個變數，共有22=4種輸入狀態組合。
當A=0，B=0：X=AB=0·0=0
當A=0，B=1：X=AB=0·1=0
當A=1，B=0：X=AB=1·0=0
當A=1，B=1：X=AB=1·1=1
（2）3輸人與門運算的布爾代數表達式為：
遍歷所有可能的輸入狀態組合(23=8)，代人二進制數值，計算其輸出結果。對應的真值表參見表1。
A | B | C |  |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
