密切平面

密切平面

對於空間曲線而言,過曲線上一點有無數多個切平面,其中有一個最貼近曲線的切平面,被稱為密切平面,它在討論曲線的性質時有很重要的作用。

基本介紹

  • 中文名:密切平面
  • 外文名:osculating plane
  • 性質:最貼近曲線的切平面
一、密切平面的定義,二、密切平面計算公式,1、曲線用一般參數表示,2、曲線用自然參數表示,3、曲線用基本向量表示,三、計算實例,四、性質及意義,

一、密切平面的定義

密切平面(osculating plane):過空間曲線上P點的切線和曲線上與P點的鄰近一點Q可作一平面σ,當Q點沿著曲線趨近於P時,平面σ的極限位置π稱為曲線在P點的密切平面
密切平面
等價定義:
過空間曲線上點P和曲線上它充分靠近的點
,
作一平面。當
,
獨立的趨近於零時,平面的極限位置稱為曲線的P點處的密切平面。

二、密切平面計算公式

1、曲線用一般參數表示


密切平面密切平面
給出
類的曲線(C)
如左圖所示,密切平面的方程為:

其中
表示P點的密切平面上任意一點的向徑。
用行列式表示為

2、曲線用自然參數表示

給出
類的曲線(C)
則曲線(C)在
點的密切平面的方程是
用行列式表示為

3、曲線用基本向量表示

為曲線在一點的單位切向量,和主法向量。

三、計算實例

例:求螺線 x=cost,y=sint,z=t 上點(1,0,0)的密切平面
解:在(1,0,0)點,t=0.並將t=0帶入各階導數求得
= (cost,sint,t),
= (1,0,0);
= (-sint,cost,1),
= (0,1,1);
= (-cost,-sint,0),
= (-1,0,0);
所求密切平面的方程為

四、性質及意義

1、密切平面對弧長s的變化率為
,即擾率的絕對值。刻畫了曲線偏離密切平面的程度,即曲線的扭曲程度。
2、若曲線為平面曲線,那么它在每一點的密切平面都是曲線所在的平面。反之,曲線的密切平面固定,則曲線為平面曲線。
3、密切平面、法平面、從切平面所構成的圖形稱為曲線的基本三棱形。

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