安格爾函式

安格爾函式是非齊次貝塞爾微分方程的解。

貝塞爾函式是貝塞爾方程的解，它們和其他函式組合成柱調和函式。除初等函式外，在物理和工程中貝塞爾函式是最常用的函式，它們以19世紀德國天文學家F.W.貝塞爾的姓氏命名，他在1824年第一次描述過它們。貝塞爾函式是數學上的一類特殊函式的總稱。

基本介紹

• 中文名：安格爾函式
• 外文名：Angell function
• 領域：數學
• 性質：非齊次貝塞爾微分方程的解
• 相關人物：安格爾、泊松
• 套用：物理、工程

概念

非齊次貝塞爾微分方程：

的解。即函式：

若ν為整數n時，J_n(z)即為第一類貝塞爾函式J_n(z)。

實際上，在安格爾(Anger，C.T.)之前，泊松(Poisson，S.-D.)在1836年已經證明了：

但未作更多研究。

貝塞爾函式

貝塞爾函式是貝塞爾方程的解，它們和其他函式組合成柱調和函式。除初等函式外，在物理和工程中貝塞爾函式是最常用的函式，它們以19世紀德國天文學家F.W.貝塞爾的姓氏命名，他在1824年第一次描述過它們。

貝塞爾函式是數學上的一類特殊函式的總稱。一般貝塞爾函式是下列常微分方程（一般稱為貝塞爾方程）的標準解函式 ：

這類方程的解是無法用初等函式系統地表示的。

貝塞爾函式的具體形式隨上述方程中任意實數 變化而變化（相應地， 被稱為其對應貝塞爾函式的階數）。實際套用中最常見的情形為 是整數 ，對應解稱為n階貝塞爾函式。
儘管在上述微分方程中， 本身的正負號不改變方程的形式，但實際套用中仍習慣針對 和 定義兩種不同的貝塞爾函式（這樣做能帶來好處，比如消除了函式在 點的不光滑性）。

第一類貝塞爾函式

第一類階貝塞爾函式是貝塞爾方程當為整數或;非負時的解，須滿足在時有限。這樣選取和處理''J''_α的原因見本主題下面的貝塞爾函式#性質|性質介紹；另一種定義方法是通過它在點的泰勒級數展開（或者更一般地通過冪級數展開，這適用於&alpha；為非整數）：　

上式中為Γ函式（它可視為階乘|階乘函式向非整型因變數和自變數|自變數的推廣）。第一類貝塞爾函式的形狀大致與按速率衰減的正弦或三角函式|餘弦函式類似（參見本頁下面對它們漸進形式的介紹），但它們的零點並不是周期性的，另外隨著''x''的增加，零點的間隔會越來越接近周期性。圖2所示為0階、1階和2階第一類貝塞爾函式的曲線（）。
如果;不為整數，則和線性無關，可以構成微分方程的一個'''解系'''。反之若是整數，那么上面兩個函式之間滿足如下關係：
=
於是兩函式之間已不滿足線性無關條件。為尋找在此情況下微分方程與線性無關的另一解，需要定義'''第二類貝塞爾函式'''。

第二類貝塞爾函式（諾依曼函式）

'''第二類貝塞爾函式'''也許比第一類更為常用。這種函式通常用表示，它們是貝塞爾方程的另一類解，又被稱為'''諾依曼函式'''，存在如下關係：

分類

利用柱坐標求解涉及在圓、球與圓柱內的勢場的物理問題時出現的一類特殊函式。又稱標函式。用柱坐標解拉普拉斯方程時，用到貝塞爾函式，它們和其他函式組合成柱調和函式。除初等函式外，在物理和工程中貝塞爾函式是最常用的函式，它們以19世紀德國天文學家F.W.貝塞爾的姓氏命名，他在1824年第一次描述過它們。貝塞爾函式最早出現在涉及如懸鏈振盪，長圓柱體冷卻以及緊張膜振動的問題中。貝塞爾函式的一族，也稱第一類貝塞爾函式，記作，用的偶次冪的無窮和來定義，數稱為貝塞爾函式的階，它依賴於函式所要解決的問題。的圖形像衰減的餘弦曲線，像衰減的正弦曲線。第二類貝塞爾函式(又稱諾伊曼函式)，記作。當n為非整數時，可以由第一類貝塞爾函式的簡單組合來定義；當為整數時，不能由第一類貝塞爾函式的簡單組合得到，此時需要通過一個求極限過程來計算函式值。第三類貝塞爾函式（亦稱漢克爾函式）定義為，其中為虛數，用n階(正或負)貝塞爾函式可解稱為貝塞爾方程的微分方程。

人物簡介——泊松

西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson 1781～1840）法國數學家、幾何學家和物理學家。1781年6月21日生於法國盧瓦雷省的皮蒂維耶，1840年4月25日卒於法國索鎮。1798年入巴黎綜合工科學校深造。受到拉普拉斯、拉格朗日的賞識。1800年畢業後留校任教，1802年任副教授，1806年任教授。1808年任法國經度局天文學家。1809年巴黎理學院成立，任該校數學教授。1812年當選為巴黎科學院院士。泊松的科學生涯開始於研究微分方程及其在擺的運動和聲學理論中的套用。他工作的特色是套用數學方法研究各類物理問題，並由此得到數學上的發現。他對積分理論、行星運動理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和機率論都有重要貢獻。他還是19世紀機率統計領域裡的卓越人物。他改進了機率論的運用方法，特別是用於統計方面的方法，建立了描述隨機現象的一種機率分布──泊松分布。他推廣了“大數定律”，並導出了在機率論與數理方程中有重要套用的泊松積分。