子流形

子流形是單浸入映射對應的流形間的關係。設M與N是兩個微分流形,φ:M→N是C∞映射,若φ是單射,且φ是浸入,則稱(M,φ)是N的子流形。或等價地定義為:M作為點集是N的子集,且從M到N的恆等映射是M到N中的嵌入,就稱M為N的子流形。

基本介紹

  • 中文名:子流形
  • 外文名:submanifold
  • 領域:數學
  • 性質:流形
  • 本質:單浸入映射對應的流形間的關係
  • 條件:微分流形
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概念

設M是一個微分流形,N是M的子集, 如果N也是流形, 並且其微分結構和拓撲結構都是由M上的相應結構的限制而得。
確切的說, 如果包含映射i:N→M是嵌入映射(就是說,不但是拓撲的嵌入,還是保能夠區分切向量的微分映射。)
如果N是M的開集,就稱為開子流形。
子流形

詳細概念

設N,M分別為n,m維的微分流形。F為N到M的C映射。若F的秩(rankF)在N的每點都等於n,則稱映射F為N到M的一個浸入。若浸入F是單射,則稱F為1-1浸入。
設F為N到M的1-1浸入,此映射下的像Ñ=F(N)⊂M,在Ñ上賦予拓撲和微分結構:設(U,ᵠ)為N的坐標鄰域,令V=F(U),φ=ᵠ°F,則(V,φ)為Ñ上的坐標鄰域。使得F成為N到Ñ的微分同胚,則Ñ稱為M的n維浸入子流形。
設F為N到M的1-1浸入,若F同時是N到M內的同胚映射,亦即,在映射的像Ñ=F(N)取M中的子空間拓撲時,F是N到Ñ上的同胚映射。則稱Ñ為M的n維嵌入子流形。映射F稱為嵌入映射。
浸入和嵌入的區別是就整體而言,在局部二者是一致的。事實上,若F為N到M的浸入映射,則在任何點P∈N,總存在P的坐標鄰域 (U,φ),使得F限制在U上F|u是U到M內的嵌入。
設N是微分流形M的子集,具有以下性質:N的每點P,存在包含P的M中的坐標鄰域(U,ᵠ)其局部坐標為x,…,x,使得: (1)φ(p)=(0,…,0) ∈R。(2) (U)=Cε(0)——以原點為中心的立方體鄰域。(3) ᵠ(U∩N) = {x∈Cε(0)|x=…=x=0}。具有如上性質的子集N稱M的n維正則子流形,正則子流形本質上就是嵌入子流形。

流形

流形是一類特殊的連通、豪斯多夫仿緊的拓撲空間,在此空間每一點的鄰近預先建立了坐標系,使得任何兩個(局部)坐標系間的坐標變換都是連續的。n維流形的概念在18世紀法國數學家拉格朗日的力學研究中已有萌芽。19世紀中葉英國數學家凱萊(1843)、德國數學家格拉斯曼(1844,1861)、瑞士數學家施勒夫利(1852)分別論述了n維歐幾里得空間理論,把它視為n個實變數的連續統。1854年德國數學家黎曼在研究微分幾何時用歸納構造法給出一般n維流形的概念:n維流形是把無限多個(n-1)維流形按照一維流形方式放在一起而形成的,從此開始流形的拓撲結構及其局部理論的研究。法國數學家龐加萊在19世紀末把n維流形定義為一種連通的拓撲空間,其中每一點都具有和n維歐氏空間同胚的鄰域(被稱為龐加萊流形),從而開闢了組合拓撲學的道路。
對流形的深入研究集中在流形上的微分結構與組合結構的存在性、唯一性問題,微分結構與組合結構的關係,流形的各種意義下的分類等問題,20世紀50—60年代做出許多重要結果,近幾十年來出現有限維帶邊流形和無限維流形概念。流形理論在與其他拓撲理論的相互結合發展中也提出許多問題,其研究仍在繼續。

微分流形

設M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間,且是拓撲流形,稱A= {(Uα,Фα)|α∈P}是它的地圖,如果{Uα|α∈P}是M的開覆蓋,Фα是從Uα到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(Uα,Φα)稱為坐標卡。如果兩個坐標卡 (Uα,Фα),(Uβ,Φβ) 滿足Uα∩Uβ≠Φ,則稱Φβ·Фα:Φα(Uα∩Uβ) →Φβ(Uα∩Uβ) 和Φα·Φβ: Φβ(Uα∩Uβ) →Фα(Uα∩Uβ) 為Uα∩Uβ上的坐標變換。如果A的所有坐標變換都是C可微的,則稱A為一個C地圖,其中1≤r≤∞。r也可等於ω,此時A稱為解析地圖。拓撲流形M的坐標卡 (U,Φ) 稱為與A是Cr相容的,如果任意(Uα,Φα) ∈A,坐標變換Φ·ΦαΦα·Φ均C可微。拓撲流形M的C地圖A稱為最大的,如果它包含M的所有與之C相容的坐標卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結構。(M,A)稱為C微分流形,或簡稱為C流形。當r=∞時,C微分結構也稱為光滑結構,C流形也稱為光滑流形。r=ω時,C結構也稱為解析結構,C流形稱為解析流形。C流形(M,A)有時也簡記為M。
從直觀上看,拓撲流形是局部歐氏空間,局部之間用同胚映射(坐標變換)貼上在一起。n維C流形,不僅局部同胚於n維歐氏空間,而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的坐標變換貼上在一起。
兩個C流形M和N,f:M→N是連續映射,且任一點P∈M,有包含P點的M中的坐標卡(U,Φ)以及包含f(P)的N中的坐標卡(V,φ),使得f(U)⊂V,同時,映射φ°f°Φ-1:Φ(U)→φ(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω),則稱f是C映射。C映射也稱為光滑映射,C映射也稱為解析映射。其中稱為f的局部表示。
C流形M和N之間的同胚f:M→N,如果f和f均是C映射,則稱f是C微分同胚

恆等映射

亦稱恆等函式。一種重要的映射。對任何元素,象與原象相同的映射。對於映射f,若它的定義域A和值域B相等,並對所有的a∈A均有f(a)=a時,則稱f為恆等映射。常記為IA或idA,eA等。
恆等映射有下列性質:
1.對映射f:A→B,IB°f=f°IA=f。
2.對映射f:A→B,若存在映射g:A→B,使得:g°f=IA,f°g=IB,則f是一一對應,且g=f-1
3.對任何集A,都存在惟一的恆等映射IA
4.恆等映射IA是雙射,且I-1A=IA

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