奇異值

奇異值是矩陣里的概念，一般通過奇異值分解定理求得。設A為m*n階矩陣，q=min(m,n)，A*A的q個非負特徵值的算術平方根叫作A的奇異值。奇異值分解是線性代數和矩陣論中一種重要的矩陣分解法，適用於信號處理和統計學等領域。

基本介紹

• 中文名：奇異值
• 外文名：singular value
• 學科：數學
• 常用於：壓縮;降噪
• 方法：奇異值分解
• 套用：信號處理等

分解定理

設給定 ，令 並假設

（a）存在酉矩陣 與 ，以及一個對角方陣

使得 以及

（b）參數 是 的按照遞減次序排列的非零特徵值的正的平方根，它們與 的按照遞減次序排列的非零特徵值的正的平方根是相同的。

定義

在奇異值分解定理中，矩陣 的對角元素（即純量 ，它們是方陣 的對角元素），稱為矩陣A的奇異值。A的奇異值由 的特徵值唯一地決定（等價地說，是由 的特徵值唯一地決定）。

A的奇異值 的重數是 作為 的特徵值的重數，或者，等價地說，也就是 的特徵值的重數。如果A的一個奇異值是 且 是 (或 )的單重特徵值，則奇異值 稱為單重的。

奇異值與秩

矩陣A的秩等於它的非零奇異值的個數，而 不小於它的非零特徵值的個數。

定理及結論

（1）設 ， 有相同的奇異值

（2） 的兩個平方的奇異值是：

（3）設給定一個無窮序列 ，並假設 （逐個元素地收斂），又設 ，設 以及 分別是A與 按非增次序排列的奇異值（對 ），那么，對每個 都有

（4）設 ，其中 ，若A是滿秩的，若且唯若它的所有奇異值都是正數。

Matlab函式

svd函式是Matlab 中對矩陣進行奇異值分解的內置函式，用法如下：

s = svd(A) %返回矩陣A的按降序排列的奇異值

[U,S,V] = svd(A) %對A進行奇異值分解，A = U*S*V'

[U,S,V] = svd(A,'econ')

[U,S,V] = svd(A,0)

套用

奇異值分解法是線性代數和矩陣論中一種重要的矩陣分解法，在信號處理、統計學等領域有重要套用。

下面以在數據分析中的降噪為例。

在現實生活中，我們蒐集的數據中總是存在噪聲：無論採用的設備多精密，方法有多好，總是會存在一些誤差的。由於大的奇異值對應著矩陣中的主要信息，因此可以運用奇異值分解進行數據分析，提取矩陣的主要信息。

假如我們蒐集的數據如下所示：

將數據用矩陣的形式表示：

經過奇異值分解後，得到：

由於第一個奇異值遠比第二個要大，數據中有包含一些噪聲，第二個奇異值在原始矩陣分解相對應的部分可以忽略。經過SVD分解後，保留了主要樣本點如圖所示：