基數乘方

基數乘方(exponentiation of cardinals)是自然數乘方的超窮推廣，在通常的數學中，序數的乘方用得較少，而基數的乘方用得較普遍，用κ^λ代表基數乘方，而用B_A代表函式的集合，即B_A={f|f為函式且dom(f)=B且Ran(f)=A}，於是，定義基數的乘方κ^λ為||λ_κ||。

基本介紹

• 中文名：基數乘方
• 外文名：exponentiation of cardinals
• 所屬學科：數學（集合論）
• 簡介：自然數乘方的超窮推廣

基本介紹

基數乘方是自然數乘方的超窮推廣，設|A|=κ，|B|=λ，映射集合A^B={f|f：B→A}的基數|A^B|稱為κ的λ次方，記為κ^λ。

基數乘方的性質

基數乘方有下列性質，對任意基數κ，λ，μ：

1.κ^λ+μ=κ^λ·κ^μ，一般地有：

2.(κ·λ)^μ=κ^μ·λ^μ，一般地有：

3.(κ^λ)^μ=κ^λ·μ.

4.若κ≤λ，則κ^μ≤λ^μ.

5.若0<λ≤μ，則κ^λ≤κ^μ.

6.κ⁰=1;1^κ=1;若κ>0，則0^κ=0.

7.對於正則基數κ，且λ<κ，有κ^λ= |α|^λ.特別地，當κ是後繼基數時， .此即豪斯多夫公式.

8.若κ是極限基數，λ≥cf(κ)，則

9.取 為固定基數：

1) 若α<β，則 .

2) 若存在γ<α，使 ，則 .

3) 若α>β，且對所有γ<α，有 ，則：

① 當 是正則基數或cf( )> 時，有 .

② 當cf( )≤ < 時，有 .由此，對任何α與β， 的值為 或 或 (對某個使 成立的γ≤α)。

10.在廣義連續統假設成立時：