在一條直線或平面上，另一條直線和已知直線或平面夾角為90度，就是垂直線。 在一條直線上畫一個點離它最近的線，垂直線是最短的。
基本介紹
- 中文名：垂直線
- 外文名：perpendicular line
- 所屬領域：幾何學
- 特點：與另一直線夾角90°的直線
定義,證明的方法,說明,例題解析,解釋證明,說明,例題解析,
定義
證明的方法
說明
證明兩條直線互相垂直的方法很多，現列出十種主要方法如下：
1．直接用定義。即證相交兩直線所構成的角中有一個是直角，或通過計算，求出其中的一個角等於90°。
2．如果一三角形中，有兩個內角之和等於90°，那么這個三角形是直角三角形。
3．一條直線垂直於平行線中的一條，則這條直線也垂直於平行線中的另一條直線。
5．利用勾股定理逆定理。即在△ABC中，如果它的三條邊
有關係式
，那么∠C=90°(這個三角形是直角三角形)。
7．利用垂徑定理及其逆定理。例如，在圓O中，P是弦AB的中點，連結OP，則OP⊥AB。
8．利用圓周角定理的推論。即在圓中，直徑所對的圓周角是直角，或半圓所對的圓周角等於90°。
9．利用定理：在三角形中，如果一條邊上的中線等於這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。
10．利用切線的性質定理：圓的切線垂直於過切點的半徑。
除了上述十種主要方法外，還有一些其他方法。例如，利用線段垂直平分線性質的逆定理，即如果一點到線段兩端點的距離相等，那么這一點必在這條線段的垂直平分線上。也可以利用三角函式的計算來證明兩直線垂直。例如，當角a是銳角時，如果sina=1，那么a=90°(當然，由cosa=0，或ctga=0，同樣可推得a=90°)。總之，證明兩條直線互相垂直的方法很多，讀者在運用時既要根據所給條件或圖形的特徵，靈活選擇方法，同時輔以必要的分析與綜合，一定能較簡捷地證明兩條直線互相垂直。
例題解析
例1 如圖1，在△ABC的外側以AB、AC為斜邊分別作等腰直角三角形ABD、ACE。設BC的中點為O，連結DO、EO，求證DO⊥EO且DD=EO。
圖1分析: 利用等腰直角三角形的性質，取AB、AC的中點F、G，連結DF、FO、EG、GO。由三角形中位線性質，可得到
且
於是可得
，有
且
。但
而
從而得到
即
。
(請讀者自己完成證明過程。)
在本題中，由於中點較多，所以首先從三角形中位線性質去考慮。同時，本題是直接證得∠DOE=90°。從而有DO⊥EO的結論。
例2 如圖2，△ABC中，已知AB=AC，且BM⊥AC，CN⊥AB(M、N為垂足)，又O、P分別是BC、MN的中點。求證：OP⊥MN。
圖2分析一： 利用直角三角形斜邊上中線的性質，容易得到
。這樣，△OMN是一個等腰三角形，因為P是底
的中線，即得OP⊥MN。
分析二： 從已知∠BNC=∠BMC=90°，易證B、C、M、N四點共圓，圓心即點O。這樣，線段MN是該圓的一條弦。因為P為MN中點，由垂徑定理逆定理，即得OP⊥OM。
本題告訴我們，在證兩條直線互相垂直時，要認真審題，看清圖形特徵，從而選擇適當的方法。需要時也可一題多證，以培養發散思維及證題能力。
解釋證明
說明
兩直線垂直的充要條件：不與x軸垂直的兩條直線的斜率互為負倒數。
例題解析
例1：設直線
過點M(3，2)，且與直線
垂直，求直線 的方程。
故直線 的方程為
整理得
。
另外，兩條直線
互相垂直的充要條件是：
。
例2：直線
互相垂直，求a的值。
解：
解得
或
。
另外與直線
(
不同時為0)垂直的直線系方程為
。
例1也可這樣解：
與直線 垂直的直線系方程為
，直線過點M(3，2)，
所以
因此，所求的直線為 。
